Sem resolver a equação diferencial dada, encontre o raio mínimo de convergência das soluções em série de potências com centro no ponto ordinário x0=1.
(d) x y^prime prime+y^prime=0

Passo 1

O enunciado pede o raio mínimo de convergência das soluções em série de potências centradas em x0=1 para a equação diferencial de segunda ordem. A teoria nos diz que, se escrevemos a equação na forma padrão
y'' + p(x),y' + q(x),y = 0,
então as séries de potências em torno de x0 convergem até o ponto singular (finito) mais próximo de x0.

Passo 2

Colocamos a equação
x,y'' + y' = 0
na forma padrão dividindo por x (que não é zero em torno de x0=1):
y'' + 1x,y' = 0
Dessa forma identificamos
p(x)=1x, q(x)=0

Passo 3

Um ponto singular finito ocorre onde p(x) ou q(x) deixam de ser analíticos. Aqui q(x)=0 é inteiro, mas
p(x)=1x
é singular em x=0. Não há outros singulares finitos.

Passo 4

O raio de convergência R é a distância do centro x0=1 até o ponto singular finito mais próximo, que é x=0. Logo
R = l|1 - 0r| = 1

Resposta

O raio mínimo de convergência é 1.

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