O ar, a 150^{\circ} \mathrm{F} e 1 atm , escoa por um duto liso, com diâmetro interno de 6 in e com o comprimento de 100 ft, provocando uma queda de pressão de 10 in de água. Determinar a vazão.

Passo 1

O enunciado dá ar em 1 atm e 150\circF escoando por um duto liso de diâmetro interno D=6 in e comprimento L=100 ft, com queda de pressão \Delta p=10 in H _2O. Pede-se a vazão volumétrica.
Conteúdo: escoamento interno turbulento, equação de Darcy–Weisbach e fator de atrito para tubo liso. Vamos assumir ar incompressível, já que \Delta p\ll p.

Passo 2

Calculamos a massa específica e a viscosidade dinâmica do ar nas condições dadas.
Temperatura em Kelvin:
T = (150-32)\times\frac{5}{9} + 273{,}15 = 338{,}6\text{ K}.
Usando a equação de estado dos gases ideais,
\rho = \frac{p}{R\,T} =\frac{1,013\times10^5}{287\;\times338{,}6} \approx1{,}045\;\text{kg/m}^3.
Viscosidade do ar a 338{,}6 K (tabela/Sutherland)
\mu \approx1{,}93\times10^{-5}\;\text{Pa\cdots}.

Passo 3

Expressamos a queda de pressão em Pa e as dimensões em SI:
\Delta p = 10\;\text{in H}_2\text{O} =10\times0{,}0254\times998\;\times9{,}81 \approx2{,}485\times10^3\;\text{Pa},
D=6\;\text{in}=0{,}1524\;\text{m},\quad L=100\;\text{ft}=30{,}48\;\text{m}.
A equação de Darcy–Weisbach é
\Delta p = f\,\frac{L}{D}\,\frac{\rho\,V^2}{2},
onde V é a velocidade média e f o fator de atrito.

Passo 4

Para tubo liso usamos a forma implícita de Colebrook–White com rugosidade zero:
\frac{1}{\sqrt{f}} =1{,}14 \;-\;2\,\log_{10}\!\bigl(\tfrac{2{,}51}{\Rey\,\sqrt{f}}\bigr),
\Rey = \frac{\rho\,V\,D}{\mu}.
Iteramos começando, por exemplo, com f_0=0{,}02:
1) \Rey_0 não conhecido ainda, mas supondo Região completamente turbulenta, iteramos em f até convergir.
2) Após algumas iterações obtemos
f \approx0{,}014.

Passo 5

Com f=0{,}014 voltamos à Darcy–Weisbach para resolver V:
V = \sqrt{\frac{2\,\Delta p}{f\,\rho\,(L/D)}} = \sqrt{\frac{2\times2{,}485\times10^3}{0{,}014\times1{,}045\times(30{,}48/0{,}1524)}} \approx41{,}2\;\text{m/s}.

Passo 6

A vazão volumétrica é
Q = V\,\frac{\pi D^2}{4} =41{,}2\times\frac{\pi\,(0{,}1524)^2}{4} \approx0{,}752\;\text{m}^3\!/s.
Em pés cúbicos por minuto (cfm):
Q =0{,}752\times\frac{35{,}31}{60} \approx1594\;\text{cfm}.

Resposta

A vazão volumétrica é
\boxed{0{,}752\;\text{m}^3\!/s\quad(\approx1594\;\text{cfm}).}

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