Calcular a queda de pressão, por metro, num tubo liso com diámetro interno de 6 \times 10^{-3} \mathrm{~m}, para o metano sob pressão atmosférica, a .500 K , escoando à vazáo de 5 \times 10^{-4} \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado pede a queda de pressão por metro ( \Deltap/L) num tubo liso de diâmetro interno D=6\times10^{-3}\,\mathrm m, onde escoa metano à pressão atmosférica ( P=1{,}013\times10^{5}\,\mathrm{Pa}) e temperatura T=500\,\mathrm K, com vazão volumétrica Q=5\times10^{-4}\,\mathrm{m^3/s}.
Conteúdo aplicado: mecânica dos fluidos, fórmula de Darcy–Weisbach e determinação do fator de atrito pela correlação de Blasius (escoamento turbulento em tubo liso).

Passo 2

Calcular a densidade do metano tratado como gás ideal:
\rho = \frac{P\,M}{R\,T},
onde M=16\times10^{-3}\,\mathrm{kg/mol} é massa molar do metano e R=8{,}314\,\mathrm{J/(mol\cdot K)}.
\rho = \frac{1{,}013\times10^{5}\times0{,}016}{8{,}314\times500} \approx0{,}39\;\mathrm{kg/m^3}.

Passo 3

Estimar a viscosidade dinâmica a 500\,\mathrm K usando a lei de potência (viscosidade do metano a 300\,\mathrm K: \mu_{\rm ref}=1{,}10\times10^{-5}\,\mathrm{Pa\cdot s}):
\mu = \mu_{\rm ref}\Bigl(\frac{T}{T_{\rm ref}}\Bigr)^{0,7} =1{,}10\times10^{-5}\,(500/300)^{0,7} \approx1{,}57\times10^{-5}\,\mathrm{Pa\cdot s}.
Então a viscosidade cinemática é
\nu = \frac{\mu}{\rho} \approx \frac{1{,}57\times10^{-5}}{0{,}39} =4{,}03\times10^{-5}\,\mathrm{m^2/s}.

Passo 4

Determinar a velocidade média v e o número de Reynolds:
Área da seção
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi\,(6\times10^{-3})^2}{4} \approx2{,}83\times10^{-5}\,\mathrm{m^2}.
Velocidade média
v = \frac{Q}{A} = \frac{5\times10^{-4}}{2{,}83\times10^{-5}} \approx17{,}7\;\mathrm{m/s}.
Número de Reynolds
\mathrm{Re} = \frac{v\,D}{\nu} = \frac{17{,}7\times6\times10^{-3}}{4{,}03\times10^{-5}} \approx2{,}64\times10^{3}.
Como \mathrm{Re}>2300, o escoamento está na região de transição/turbulenta; usaremos a correlação de Blasius para tubo liso.

Passo 5

Calcular o fator de atrito de Blasius
f = \frac{0{,}3164}{\mathrm{Re}^{1/4}} = \frac{0{,}3164}{(2{,}64\times10^{3})^{1/4}} \approx0{,}0441.
Aplicar a equação de Darcy–Weisbach para queda de pressão por comprimento:
\frac{\Delta p}{L} = f\,\frac{\rho\,v^2}{2\,D}.
Substituindo valores:
\frac{\Delta p}{L} =0{,}0441\;\frac{0{,}39\times(17{,}7)^2}{2\times6\times10^{-3}} \approx4{,}5\times10^{2}\,\mathrm{Pa/m}.

Resposta

A queda de pressão é aproximadamente
\frac{\Delta p}{L}\approx4{,}5\times10^{2}\;\mathrm{Pa/m}.

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