Calcular a queda de pressão em 100 m de tubulação lisa com diâmetro interno de 0,02 \mathrm{~m} quando se têm os seguintes escoamentos:
Qual é o regime de escoamento em cada um destes casos?
De mercúrio, a 40^{\circ} \mathrm{C} e sob pressão atmosférica, com a vazáo de 5 \times 10^{-2} \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado pede a queda de pressão em L=100,m de tubulação lisa de diâmetro interno D=0,02,m quando se escoa mercúrio a 40^\circC sob pressão atmosférica com vazão volumétrica Q=5\times10^{-2}, m^{3}/s. Precisamos determinar primeiro o regime de escoamento (Reynolds) e depois usar a equação de Darcy–Weisbach para obter \Delta p.

Passo 2

Pegamos as propriedades do mercúrio a 40^\circC (tabela):
densidade \rho\approx1,35\times10^{4},kg/ m^{3}
viscosidade dinâmica \mu\approx1,38\times10^{-3},P a\cdot s

Passo 3

Calculamos a velocidade média v pelo balanço de vazão sobre a área da seção reta:
A = \frac{\pi D^2}{4}
v = \frac{Q}{A}
Substituindo
A = \frac{\pi (0,02)^2}{4}\approx3,142\times10^{-4}\,\text{m}^2
v = \frac{5\times10^{-2}}{3,142\times10^{-4}}\approx159{,}2\\ \text{m/s}

Passo 4

Calculamos o número de Reynolds
\mathrm{Re} = \frac{\rho\,v\,D}{\mu}
\mathrm{Re} = \frac{1{,}35\times10^4 \times159{,}2\times0{,}02}{1{,}38\times10^{-3}} \approx3{,}1\times10^7
Como \mathrm{Re}\gg4000, o escoamento é turbulento.

Passo 5

Para tubulação lisa em regime turbulento, usamos a correlação de Blasius (válida até certa ordem de grandeza de \mathrm{Re}, mas aqui adota-se para estimativa):
f = 0{,}3164\,\mathrm{Re}^{-0.25}
f = 0{,}3164\,(3{,}1\times10^7)^{-0.25}\approx4{,}2\times10^{-3}

Passo 6

Aplicamos Darcy–Weisbach para queda de pressão:
\Delta p = f\,\frac{L}{D}\,\frac{\rho\,v^2}{2}
Calculando os termos:
\frac{L}{D} = \frac{100}{0{,}02} = 5000, \quad \frac{\rho\,v^2}{2} = \frac{1{,}35\times10^4 \times(159{,}2)^2}{2}\approx1{,}71\times10^8\\ \text{Pa}
\Delta p = 4{,}2\times10^{-3}\times5000\times1{,}71\times10^8 \approx3{,}6\times10^9\\ \text{Pa}

Resposta

O escoamento é turbulento e a queda de pressão ao longo de 100 m é aproximadamente \Delta p\approx3,6\times10^{9},Pa.

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