Bombeia-se água, a 55^{\circ} \mathrm{F}, de um lago até o topo de uma torre, a 60 ft acima do nível da água no lago. Deseja-se ter, no topo, 12 \mathrm{ft}^{3} de água por minuto a 15 psig. A linha de transmissão consiste em 400 ft de tubo de aço padrāo, de 3 in , com oito joelhos a 90^{\circ} e quairo válvulas de gaveta. Qual a potência necessária, em HP, para o bombeamento? Qual será a potência dissipada realmente se o sistema motor-bomba tiver uma eficiência de 40 \% ?

Passo 1

Vamos bombear água a 55^\circ\mathrm{F} do lago até um reservatório 60,ft acima, fornecendo 12,ft ^3/min no topo a 15,psig. O que precisamos é:
– Converter vazão e calcular velocidade na tubulação de aço padrão de 3 in (diâmetro interno D).
– Calcular perdas de carga por atrito (major) e perdas em acessórios (minor).
– Somar cabeça estática (elevação + pressão de descarga) e perdas por atrito para obter a cabeça total H.
– Usar a equação de potência hidráulica
P = \frac{\gamma\,Q\,H}{550}
para achar a potência em HP e depois ajustar pela eficiência de 40\%.

Passo 2

Conversão da vazão e velocidade
Q = 12\;\frac{\text{ft}^3}{\min} = 0{,}2\;\frac{\text{ft}^3}{\mathrm{s}}.
Diâmetro interno de tubo aço padrão 3 in (schedule 40):
D = 3{,}068\;\text{in} = 0{,}2557\;\text{ft}.
Área da seção
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi\,(0{,}2557)^2}{4} \approx 0{,}0512\;\text{ft}^2.
Velocidade
v = \frac{Q}{A} = \frac{0{,}2}{0{,}0512} \approx 3{,}90\;\text{ft/s}.

Passo 3

Fator de atrito de Darcy–Weisbach
– Número de Reynolds, com \nu = 1{,}22\times10^{-5}\;\text{ft}^2/\text{s}:
\mathrm{Re} = \frac{v\,D}{\nu} = \frac{3{,}90\cdot0{,}2557}{1{,}22\times10^{-5}} \approx 8,2\times10^4,
turbulento.
– Rugosidade interna do aço \epsilon = 0{,}00015,ft.
– Relação \epsilon/D = 0{,}00015/0{,}2557 \approx 5,86\times10^{-4}.
Aplicando a fórmula de Swamee–Jain:
f = 0{,}25\biggl[\log_{10}\Bigl(\frac{\epsilon/(3{,}7D)} + \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\Bigr)\biggr]^{-2} \approx 0{,}0213.

Passo 4

Perdas de carga por atrito na tubulação
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^2}{2g},
com L=400,ft e g=32{,}2,ft/s ^2:
\frac{v^2}{2g} = \frac{(3{,}90)^2}{2\cdot32{,}2} \approx 0{,}237\;\text{ft},
h_f = 0{,}0213 \times \frac{400}{0{,}2557}\times0{,}237 \approx 7{,}9\;\text{ft}.

Passo 5

Perdas em acessórios (minor losses)
– Oito joelhos de 90\circ com K_{\rm elbow}\approx0{,}30 cada e quatro válvulas de gaveta com K_{\rm valve}\approx0{,}08.
\sum K = 8\cdot0{,}30 + 4\cdot0{,}08 = 2{,}72,
h_m = \sum K\;\frac{v^2}{2g} = 2{,}72\times0{,}237 \approx 0{,}65\;\text{ft}.

Passo 6

Cabeça estática
– Elevação: 60,ft.
– Pressão de descarga p=15,psi \to cabeça de pressão
\frac{p}{\gamma} = 15\;\text{psi}\times2{,}31\;\frac{\text{ft}}{\text{psi}} = 34{,}65\;\text{ft},
once \gamma=62{,}4,lb/ft ^3.
Então
H_{\rm estática} = 60 + 34{,}65 = 94{,}65\;\text{ft}.á

Passo 7

Cabeça total
H = H_{\rm estática} + h_f + h_m = 94{,}65 + 7{,}9 + 0{,}65 \approx 103{,}2\;\text{ft}.á

Passo 8

Potência hidráulica da bomba
P = \frac{\gamma\,Q\,H}{550} = \frac{62{,}4 \times 0{,}2 \times 103{,}2}{550} \approx 2{,}34\;\mathrm{HP}.

Passo 9

Potência real com eficiência de 40\%
P_{\rm real} = \frac{P}{0{,}40} = \frac{2{,}34}{0{,}40} \approx 5{,}85\;\mathrm{HP}.

Resposta

Potência necessária da bomba (hidráulica): \displaystyle 2{,}34\;\mathrm{HP}.
Potência consumida pelo motor-bomba (eficiência 40\%): \displaystyle 5{,}85\;\mathrm{HP}.

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