Uma equipe de pesquisa está projetando um sistema para investigar problemas de corrosão num reator nuclear. O equipamento é constituído por 230 ft (comprimento equivalente total) de cano de aço inoxidável com 1 in de diâmetro interno. De um tanque de fusão, bombeia-se o bismuto fundido, mantido a 350^{\circ} \mathrm{C} e com a pressão absoluta de 5 mícrons, através da seçāo de ensaio, que compreende os 230 ft de cano, e o metal retorna depois ao tanque. Sendo de 1,0 \mathrm{ft} / \mathrm{s} a velocidade do bismuto, qual deve ser a potência teórica fornecida à bomba inserida na linha? Admitir que a temperatura de 350^{\circ} \mathrm{C} se mantém constante graças a um isolamento apropriado.
Propriedades do bismuto líquido:
\begin{aligned} \text { Viscosidade } & =1,28 \mathrm{cP} \\ \text { Densidade } & =613 \mathrm{lb} / \mathrm{ft}^{3} \end{aligned}

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos bombear bismuto líquido a 350^\circ\mathrm C por um trecho de cano com comprimento total L=230\text{ ft} e diâmetro interno D=1\text{ in}, mantendo a velocidade média V=1{,}0\text{ ft/s}. O objetivo é calcular a potência teórica que a bomba deve fornecer, desprezando ganhos ou perdas de energia térmica (a temperatura se mantém constante).
O conteúdo envolvido é mecânica dos fluidos: vamos usar a equação de energia (Bernoulli estendida) para determinar a perda de carga por atrito, obter a carga hidráulica exigida e finalmente calcular a potência hidráulica como
P = \gamma\,Q\,h_f,
onde \gamma é o peso específico do fluido, Q o caudal volumétrico e h_f a perda de carga por atrito.

Passo 2

Calcular a vazão volumétrica Q e verificar o regime de escoamento via número de Reynolds.
O diâmetro interno em pés é
D = \frac{1\text{ in}}{12} = 0{,}08333\text{ ft},
e a área da seção transversal vale
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi\,(0{,}08333)^2}{4}\approx0{,}005454\text{ ft}^2.
Então a vazão é
Q = V\,A = 1{,}0\;\frac{\text{ft}}{\text{s}}\times0{,}005454\;\text{ft}^2 = 0{,}005454\;\frac{\text{ft}^3}{\text{s}}.
A viscosidade dinâmica em unidades inglesas é
\mu =1{,}28\;\text{cP}=1{,}28\times10^{-3}\,\mathrm{Pa\!\cdots}\approx2{,}673\times10^{-5}\;\frac{\text{slug}}{\text{ft\cdots}},
e a densidade de massa é
\rho = \frac{613\;\mathrm{lb_m/ft^3}}{32{,}174\;\mathrm{ft/s^2}} \approx19{,}05\;\frac{\text{slug}}{\text{ft}^3}.
O número de Reynolds fica
\mathrm{Re} = \frac{\rho\,V\,D}{\mu} = \frac{19{,}05\times1{,}0\times0{,}08333}{2{,}673\times10^{-5}}\approx5{,}94\times10^{4},
indicando escoamento turbulento.

Passo 3

Determinar o fator de atrito f pelo correlação de Blasius (válida para 2000<\mathrm{Re}<10^5),
f = 0{,}079\,\mathrm{Re}^{-1/4} = 0{,}079\,(5{,}94\times10^4)^{-1/4} \approx5{,}04\times10^{-3}.

Passo 4

Calcular a perda de carga por atrito h_f usando a fórmula de Darcy–Weisbach,
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2\,g},
onde g=32{,}174\;\mathrm{ft/s^2}. Primeiro
\frac{L}{D} = \frac{230}{1/12} = 230\times12 = 2760, \quad \frac{V^2}{2\,g} = \frac{1^2}{2\times32{,}174}\approx0{,}01554\text{ ft},
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h_f = 5{,}04\times10^{-3}\times2760\times0{,}01554 \approx0{,}216\text{ ft}.

Passo 5

Calcular a potência teórica hidráulica P. O peso específico do bismuto é
\gamma = \rho\,g = 613\;\frac{\text{lb}_m}{\text{ft}^3}\times\frac{1\;\text{lbf}}{1\;\text{lb}_m\,}\times32{,}174\;\frac{\text{ft}}{\text{s}^2} =613\;\frac{\text{lbf}}{\text{ft}^3}.
Então
P = \gamma\,Q\,h_f =613\;\frac{\text{lbf}}{\text{ft}^3}\times0{,}005454\;\frac{\text{ft}^3}{\text{s}}\times0{,}216\;\text{ft} \approx0{,}722\;\frac{\text{ft\cdotlbf}}{\text{s}}.
Convertendo para horsepower ( 1\;\mathrm{hp}=550\;\mathrm{ft\cdotlbf/s}) e para watts ( 1\;\mathrm{ft\cdotlbf/s}=1{,}356\;\mathrm W):
P \approx\frac{0{,}722}{550}\;\mathrm{hp}\approx1{,}31\times10^{-3}\;\mathrm{hp} \quad\text{ou}\quad P\approx0{,}722\times1{,}356\;\mathrm W\approx0{,}98\;\mathrm W.

Resposta

A potência teórica necessária à bomba é de cerca de
P\approx0{,}72\;\frac{\text{ft\cdotlbf}}{\text{s}} \quad\bigl(\approx1{,}3\times10^{-3}\;\mathrm{hp}\bigr) \quad\text{ou}\quad P\approx0{,}98\;\mathrm{W}.

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