A água de uma casa provém de uma fonte situada a 600 ft de altura e conduzida por um cano de bronze, série 40 , de 1 in , com 650 ft de comprimento. O cano tem três joelhos de 90^{\circ} e uma válcula de gaveta, descarregando num tanque aberto. Qual será a vazão da água, a 50^{\circ} \mathrm{F} ?

Passo 1

O enunciado diz que temos uma fonte a uma altura de 600 ft, ligada a um cano de bronze série 40, nominal de 1 in, comprimento 650 ft, com três joelhos de 90^\circ e uma válvula gaveta, descarregando num tanque aberto.
Conteúdo: escoamento em regime permanente, incompressível, usando a equação de Darcy–Weisbach para perda de carga em tubulações com perdas localizadas.

Passo 2

Determinar o diâmetro interno e a área da seção:
Pelo catálogo, o diâmetro interno do tubo schedule 40, nominal de 1 in, é
D = 1{,}049\text{ in} = \frac{1{,}049}{12}\text{ ft} = 0{,}08742\text{ ft}.
A área da seção é
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi\,(0{,}08742)^2}{4} \approx 0{,}00600\text{ ft}^2.

Passo 3

Listar perdas localizadas: cada joelho de 90^\circ tem K_{\rm joelho}\approx0{,}3 e a válvula gaveta completamente aberta tem K_{\rm válvula}\approx0{,}15á.
\sum K = 3\cdot0{,}3 + 0{,}15 = 1{,}05.

Passo 4

A perda de carga total, em pés de coluna de água, é
H = H_f + H_{\ell} = \frac{v^2}{2g}\Bigl(f\,\frac{L}{D} + \sum K\Bigr).
Como H=600 ft, L=650 ft, g=32{,}2,ft/s ^2, obtém-se
600 = \frac{v^2}{2\cdot32{,}2}\Bigl(f\,\frac{650}{0{,}08742} + 1{,}05\Bigr).

Passo 5

Calcular a viscosidade cinemática da água a 50\,^\circ\mathrm F:
\nu \approx 1{,}41\times10^{-5}\text{ ft}^2/\text{s}.
Estimativa de rugosidade absoluta para bronze:
\varepsilon \approx 5\times10^{-6}\text{ ft}, \quad \frac{\varepsilon}{D}\approx5{,}7\times10^{-5}.

Passo 6

Usar a aproximação de Swamee–Jain para fator de atrito f:
f = 0{,}25\Biggl[\log_{10}\Bigl(\frac{\varepsilon/D}{3{,}7}+\frac{5{,}74}{\Re^{0.9}}\Bigr)\Biggr]^{-2},
em que \Re = vD/\nu. Fazendo uma iteração rápida (pressupondo v\sim16 ft/s e refinando), chega-se a
f \approx 0{,}0184.

Passo 7

Substituir f de volta na equação de perda de carga para resolver v:
600 = \frac{v^2}{64{,}4}\bigl(0{,}0184\cdot7438{,}7 + 1{,}05\bigr) \quad\Longrightarrow\quad v\approx16{,}75\text{ ft/s}.
Então a vazão volumétrica é
Q = A\,v \approx 0{,}00600\cdot16{,}75 =0{,}1005\text{ ft}^3/\text{s}.
Convertendo para galões por minuto ( 1\text{ ft}^3/\text{s}\approx448{,}8 gpm):
Q \approx0{,}1005\cdot448{,}8 \approx45{,}1\text{ gpm}.

Resposta

A vazão da água é aproximadamente 45 gpm.

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