Uma usina hidrelétrica recebe a água através de um duto de 10 km que vem da represa até as turbinas. O dutó é feito em concreto e tem 2 m de diâmetro. A tomada do duto na represa está a 10 m abaixo do nível da
água e a 60 m acima da entrada da turbina. A descarga da turbina se faz na atmosfera. Qual a vazão de água, a 20^{\circ} \mathrm{C}, que se pode esperar na turbina? Qual a potência desenvolvida pela turbina com esta vazão? A pressão na entrada da turbina é de 120 \mathrm{kN} / \mathrm{m} 2.

Passo 1

O enunciado descreve um escoamento d’água estacionário em um duto reto de concreto de comprimento L=10000,m e diâmetro D=2{,}0,m. A tomada na represa fica 10,m abaixo da superfície livre, e esse ponto está 60,m acima da entrada da turbina, de modo que a diferença de cota entre a superfície livre da represa e a entrada da turbina é
\Delta z = 10 + 60 = 70\text{ m}.
A pressão na entrada da turbina é p_2 = 120\times10^3,Pa e a descarga final é à atmosfera ( p_{\rm atm}). Queremos a vazão Q e, em seguida, a potência hidráulica disponível na turbina. Para isso usaremos a equação de Bernoulli entre a superfície livre da represa (ponto 1) e a entrada da turbina (ponto 2), incluindo a perda de carga maior de Darcy–Weisbach no duto e a correção de energia cinética.

Passo 2

Propriedades do fluido a 20^\circC:
\rho = 998;\mathrm{kg/ m^3},\quad \nu = 1{,}003 \times 10^{-6};\mathrm{ m^2/s}.
Área interna do duto
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi\,(2{,}0)^2}{4} = \pi\;\mathrm{m^2}\approx3{,}142\;\mathrm{m^2}.

Passo 3

Escrevendo Bernoulli entre a superfície livre (ponto 1) e a entrada da turbina (ponto 2), tomando nível de referência em z_2=0, com v_1\approx0 e pressões absolutas:
z_1 + \frac{p_1}{\rho g} = z_2 + \frac{p_2}{\rho g} + \frac{v^2}{2g} + h_f,
onde p_1=p_{\rm atm} (tomada como zero de referência) e
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^2}{2g}.
Como z_1=70,m e \tfrac{p_2}{\rho g}=\tfrac{120\,000}{998\cdot9,81}\approx12,26,m, obtemos a equação para v:
70 - 12{,}26 = \frac{v^2}{2g} \;+\; f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^2}{2g} \;\Longrightarrow\; 57{,}74 = \frac{v^2}{2g}\Bigl(1 + f\,\frac{L}{D}\Bigr).
O fator de atrito f para escoamento turbulento é dado pela fórmula de Swamee–Jain:
f = 0{,}25\Biggl[\log_{10}\Bigl(\frac{e}{3{,}7D} + \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0,9}}\Bigr)\Biggr]^{-2},
com rugosidade típica de concreto e\approx0{,}0003,m e número de Reynolds \mathrm{Re} = \dfrac{vD}{\nu}.

Passo 4

Iterando:
1) chute inicial f=0{,}02 \to da equação de energia obtém-se v\approx3{,}35,m/s \to \mathrm{Re}\approx6{,}7\times10^6.
2) com esse \mathrm{Re} e e/D=1,5\times10^{-4}, Swamee–Jain dá f\approx0{,}0132.
3) recalculando v com f=0{,}0132 chega-se a v\approx4{,}12,m/s; nova iteração confirma f\approx0{,}0132.
Portanto a vazão é
Q = A\,v = \pi \times 4{,}12 \approx 12{,}94\;\mathrm{m^3/s}.

Passo 5

A potência hidráulica disponível na entrada da turbina é
P = \rho\,g\,Q\,H_t,
sendo H_t a carga que o fluido ainda possui na entrada da turbina, dada pela soma do termo de pressão e da energia cinética:
H_t = \frac{p_2}{\rho g} + \frac{v^2}{2g} \approx 12{,}26 + \frac{(4{,}12)^2}{2\cdot9,81} \approx 12{,}26 + 0{,}86 = 13{,}12\;\mathrm{m}.
Logo
P = 998\cdot9{,}81 \cdot12{,}94 \cdot13{,}12 \approx 1{,}66\times10^6\;\mathrm{W} =1{,}66\;\mathrm{MW}.

Resposta

Vazão esperada: Q\approx12{,}94,m ^3/s.
Potência desenvolvida: P\approx1{,}66,MW.

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