Um óleo lubrificante leve (densidade 0,87 , viscosidade 3,0 \mathrm{cP} ) é bombeado por uma bomba de engrenagens até um distribuidor, à vazão de 1.000 \mathrm{gal} / \mathrm{h}. No distribuidor, o sistema é ramificado em duas linhas. Uma delas é um tubo de aço 40, de 4 in e a outra um tubo de aço 40 de 8 in. 0 tubo menor tem 250 ft de comprimento, enquanto o maior tem 100 ft . Desprezando modificações de altura e quedas de pressão nos acessórios e no distribuidor, qual é a vazāo em cada um dos dois tubos?

Passo 1

O enunciado fala de óleo lubrificante (densidade relativa 0,87, viscosidade 3{,}0\\ \mathrm{cP}) bombeado a 1\,000 gal/h, que chega a um nó e se divide em dois tubos de aço schedule 40: um de 4 " e 250 ft e outro de 8 " e 100 ft. Desprezamos altura e acessórios. Precisamos aplicar perda de carga Darcy–Weisbach, identificar o regime (laminar ou turbulento) e equilibrar as perdas em cada ramo para achar as vazões.

Passo 2

Converter dados para SI e calcular diâmetros internos e áreas:
– Densidade: \rho=0{,}87\times1000=870\\ \mathrm{kg/m^3}.
– Viscosidade dinâmica: \mu=3{,}0\\ \mathrm{cP}=3{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
– Vazão total:
Q_t = 1000\\ \mathrm{gal/h}\times\frac{0{,}0037854\\ \mathrm{m^3}}{1\\ \mathrm{gal}}\times\frac{1}{3600\\ \mathrm{s/h}} =1{,}0515\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s}.
– Tubo 4" sch 40: diâmetro interno D_A=0{,}1023\\ \mathrm{m}, área A_A=\pi D_A^2/4=8{,}217\times10^{-3}\\ \mathrm{m^2}.
– Tubo 8" sch 40: diâmetro interno D_B=0{,}2027\\ \mathrm{m}, área A_B=\pi D_B^2/4=3{,}229\times10^{-2}\\ \mathrm{m^2}.

Passo 3

Verificar regime de escoamento. Mesmo que todo o fluxo fosse só num dos tubos, as velocidades são baixas e Reynolds abaixo de 2000. De fato, após divisão, ambos ramos ficam em regime laminar ( \mathrm{Re}<2000). Logo podemos usar a fórmula de Poiseuille para perda de carga:
h_L = \frac{32\,\mu\,L}{\rho\,g\,\pi\,D^4}\;Q.

Passo 4

Calcular as constantes lineares de perda em cada ramo:
Para o ramo A ( 4" , L_A=250\\ \mathrm{ft}=76{,}20\\ \mathrm{m}):
K_A = \frac{32\,\mu\,L_A}{\rho\,g\,\pi\,D_A^4} =\frac{32\cdot0{,}003\cdot76{,}20}{870\cdot9{,}81\cdot\pi\,(0{,}1023)^4} \approx 2{,}485\\ \frac{\mathrm{m\;(head)}}{\mathrm{(m^3/s)}}.
Para o ramo B ( 8" , L_B=100\\ \mathrm{ft}=30{,}48\\ \mathrm{m}):
K_B = \frac{32\,\mu\,L_B}{\rho\,g\,\pi\,D_B^4} =\frac{32\cdot0{,}003\cdot30{,}48}{870\cdot9{,}81\cdot\pi\,(0{,}2027)^4} \approx 0{,}06477\\ \frac{\mathrm{m\;(head)}}{\mathrm{(m^3/s)}}.

Passo 5

Como as duas perdas de carga são iguais ( h_{L,A}=h_{L,B}) e Q_A+Q_B=Q_t, temos
K_A\,Q_A = K_B\,(Q_t - Q_A) \quad\Longrightarrow\quad Q_A = \frac{K_B}{K_A + K_B}\;Q_t = \frac{0{,}06477}{2{,}485 + 0{,}06477}\;1{,}0515\times10^{-3} \approx 2{,}67\times10^{-5}\\ \mathrm{m^3/s}.
E
Q_B = Q_t - Q_A \approx 1{,}0515\times10^{-3} - 2{,}67\times10^{-5} =1{,}0248\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s}.
Converter para \mathrm{gal/h} ( 1\\ \mathrm{m^3/s}=9,514\times10^5\\ \mathrm{gal/h}):
Q_A \approx 2{,}67\times10^{-5}\times9{,}514\times10^{5} \approx 25{,}4\\ \mathrm{gal/h},\quad Q_B \approx 1{,}0248\times10^{-3}\times9{,}514\times10^{5} \approx 974{,}6\\ \mathrm{gal/h}.

Resposta

Vazão no tubo de 4 ": Q_A\approx25{,}4\\ \mathrm{gal/h}
Vazão no tubo de 8 ": Q_B\approx974{,}6\\ \mathrm{gal/h}

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