Um repuxo é alimentado por um grande reservatório que fica a 30 m de altura acima do bico, o qual está dirigido verticalmente para cima. O reservatório e o repuxo estão ligados por 100 m (comprimento equivalente, incluindo os acessórios e o bico do repuxo) de um cano de aço de 25 mm nominais (tipo médio). A água está a 20^{\circ} \mathrm{C}. Qual é a altura máxima do jato de água no repuxo? Qual seria a altura máxima se năo houvessem perdas por atrito?

Passo 1

O enunciado dá um reservatório a 30,m acima de um bico vertical e uma tubulação de aço de comprimento equivalente L = 100,m e diâmetro interno nominal d = 25,mm ligando reservatório ao repuxo. A água está a 20^\circ\mathrm{C} (viscosidade cinemática \nu \approx 1{,}00\times10^{-6}, m^{2}/s). Queremos a altura máxima do jato considerando perdas por atrito (Darcy–Weisbach) e também sem perdas.

Passo 2

Aplicamos Bernoulli entre a superfície livre do reservatório (velocidade desprezível, pressão atmosférica) e a saída do bico (atmosfera) incluindo perda de carga h_f. Em termos de cotas de energia (em metros de coluna d\textquotesingle{}água):
30 = h_f + \frac{v^2}{2g}.
A perda h_f pela fórmula de Darcy–Weisbach é
h_f = f\,\frac{L}{d}\,\frac{v^2}{2g}.
Logo
30 = \frac{v^2}{2g}\Bigl(1 + f\,\frac{L}{d}\Bigr),
e a altura do jato H = v^2/(2g) satisfaz
H = \frac{30}{1 + f\,\dfrac{L}{d}}.

Passo 3

Precisamos estimar o fator de atrito f. Tomamos rugosidade absoluta típica para aço \varepsilon = 0{,}046,mm, logo a rugosidade relativa é
\frac{\varepsilon}{d} = \frac{0{,}046\times10^{-3}}{0{,}025} \approx 1{,}84\times10^{-3}.
Como o escoamento será turbulento, usamos a equação de Colebrook–White:
\frac{1}{\sqrt{f}} = -2\log_{10}\!\Bigl(\frac{\varepsilon}{3{,}7\,d} + \frac{2{,}51}{\mathrm{Re}\,\sqrt{f}}\Bigr), \quad \mathrm{Re} = \frac{v\,d}{\nu}.
Iterando começando em f=0{,}02 chega-se a
\displaystyle f\approx0{,}026.

Passo 4

Agora calculamos a altura H substituindo f em
H = \frac{30}{1 + f\,\dfrac{L}{d}} = \frac{30}{1 + 0{,}026\;\dfrac{100}{0{,}025}} = \frac{30}{1 + 104} = \frac{30}{105} \approx 0{,}286\text{ m}.
Portanto, a velocidade no bico é
v = \sqrt{2gH} \approx \sqrt{2\cdot9{,}81\cdot0{,}286} \approx 2{,}37\text{ m/s},
mas o que interessa é a altura do jato H\approx0{,}29,m.

Passo 5

Sem perdas por atrito ( f=0) toda a carga de 30,m vira velocidade, de modo que
H_{\text{sem atrito}} = \frac{v^2}{2g} = 30\text{ m}.

Resposta

Com perdas por atrito: H \approx 0{,}29,m
Sem perdas por atrito: H = 30,m

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