Numa torre recheada efetua-se a extração contínua do ácido acético contido numa solução aquosa, pelo contato com o benzeno. A solução aquosa é injetada no topo da coluna e entra em contato com a fase benzênica ascendente. A fase aquosa afluente entra à vazāo de 1.000 \mathrm{lb} / h \mathrm{ft}^{2} e tem 0,04 \mathrm{lb}-mol de ácido acético por pé cúbico. A soluçāo aquosa efluente tem 0,001 \mathrm{lb}-mol de ácido acético por pé cúbico. Na base da torre entra o benzeno puro, a uma taxa igual a 1,2\left(G_{v}\right)_{\text {min. }}. A experiência mostra que o coeficiente de transferência de massa é de K_{c} a=2,5 \mathrm{lb}-\mathrm{mol} / \mathrm{h} \mathrm{ft}^{3}\left(\mathrm{lb}-\mathrm{mol} / \mathrm{ft}^{3}\right) com base na fase benzênica. Neste sistema, a relação de equilibrio é dada por
c_{V}=0,025 c_{L}
onde
\mathrm{c}_{\mathrm{V}}= concentração do ácido no benzeno, \mathrm{lb}-\mathrm{mol} / \mathrm{ft}^{3}
c_{L}= concentração do ácido acético na água, \mathrm{lb}-\mathrm{mol} / \mathrm{ft}^{3}
Determinar a altura necessária do recheio.

Passo 1

O problema é o projeto de uma torre de extração contínua em contracorrente com recheio, onde a fase aquosa (solução de ácido acético) entra no topo com vazão por área L=1000\\ \mathrm{ft^3/(h\;ft^2)} e concentrações de ácido de c_{L0}=0,04\\ \mathrm{lb\text{-}mol/ft^3} na alimentação e c_{L1}=0,001\\ \mathrm{lb\text{-}mol/ft^3} no efluente. Na base entra benzeno puro (concentração inicial c_{V0}=0) à vazão G=1{,}2\,G_{\min}, onde G_{\min} é a vazão mínima de solvente para atingir c_{L1}. A relação de equilíbrio é
c_V^*=m\,c_L,\quad m=0,025,
e o coeficiente global de transferência de massa vezes área específica vale
K_c\,a=2,5\\ \frac{\mathrm{lb\text{-}mol}}{\mathrm{h\;ft^3\,(lb\text{-}mol/ft^3)}}.
Queremos derivar a altura de recheio H.

Passo 2

Escrevemos os balanços diferenciais por área de seção transversal. Para o soluto na fase benzênica em um elemento de altura dz:
G\,d c_V \;=\;K_c a\,\bigl(c_L - c_L^*\bigr)\,dz,
onde c_L^*=c_V/m. Para o soluto perdido da fase aquosa vale
L\,d c_L \;=\;-\,G\,d c_V.

Passo 3

Da segunda equação integra-se para obter a relação entre c_L e c_V:
L\,(c_L - c_{L0})=-G\,(c_V-0) \quad\Longrightarrow\quad c_L = c_{L0} -\frac{G}{L}\,c_V.

Passo 4

Substituímos c_L e c_L^* na equação de transferência e isolamos dz:
dz \;=\;\frac{G}{K_c a}\,\frac{d c_V}{\,c_L - c_V/m\,} =\frac{G}{K_c a}\,\frac{d c_V} {\,c_{L0}-\frac{G}{L}c_V-\frac{1}{m}c_V\,} =\frac{G}{K_c a}\,\frac{d c_V} {\,c_{L0}-\bigl(\tfrac{G}{L}+\tfrac{1}{m}\bigr)c_V\,}.

Passo 5

Integramos de z=0 a z=H e de c_V=0 a c_{V1}, onde c_{V1} é a concentração no topo da fase benzênica, obtida do balanço total:
L\,(c_{L0}-c_{L1})=G\,c_{V1} \quad\Longrightarrow\quad c_{V1}=\frac{L}{G}\,(c_{L0}-c_{L1}).

Passo 6

Fazendo a integral
H=\int_0^H dz =\frac{G}{K_c a}\int_{0}^{c_{V1}} \frac{d c_V}{\,c_{L0}-a\,c_V\,},
onde definimos
a=\frac{G}{L}+\frac{1}{m}.
Usamos
\int_0^{c_{V1}}\frac{d x}{A - a x} =\frac{1}{a}\ln\frac{A}{A - a\,c_{V1}},
logo
H =\frac{G}{K_c a}\;\frac{1}{a}\, \ln\frac{c_{L0}}{\,c_{L0}-a\,c_{V1}\,} =\frac{G}{K_c a}\, \ln\frac{c_{L0}}{\,c_{L0}-a\,c_{V1}\,}.

Passo 7

Calculamos G. A vazão mínima de solvente para extrair até c_{L1} é
G_{\min} =\frac{L\,(c_{L0}-c_{L1})}{m\,c_{L1}} =\frac{1000\,(0,04-0,001)}{0,025\cdot0,001} =\frac{39}{2{,}5\times10^{-5}} =1{,}56\times10^{6}\\ \mathrm{ft^3/(h\;ft^2)}.
Como G=1,2\,G_{\min}, vem
G=1{,}2\times1{,}56\times10^{6}=1{,}872\times10^{6}.

Passo 8

Calculamos as quantidades numéricas:
a=\frac{G}{L}+\frac{1}{m} =\frac{1{,}872\times10^{6}}{1000}+40 =1872+40=1912,
c_{V1}=\frac{L}{G}(c_{L0}-c_{L1}) =\frac{1000}{1{,}872\times10^{6}}\times0,039 \approx2{,}08\times10^{-5}.

Passo 9

Finalmente,
H =\frac{G}{K_c a}\, \ln\frac{c_{L0}}{\,c_{L0}-a\,c_{V1}\,} =\frac{1{,}872\times10^{6}}{2{,}5\times1912} \ln\frac{0,04}{\,0,04-1912\times2{,}08\times10^{-5}\,} \approx391{,}6\times5{,}404 \approx2{,}12\times10^{3}\\ \mathrm{ft}.

Resposta

A altura necessária de recheio é aproximadamente
H\approx2{,}1\times10^{3}\\ \mathrm{ft}.

Exercícios de Livros Relacionados