Qual operador abaixo possui autovalor lambda=2 com multiplicidade algébrica 2?
Escolha uma opção:
a. (ll1 & 3 2 & 4)
b. Nenhuma das alternativas
c. (cc0 & -2 2 & 0)
d. (ll2 & 1 0 & 2)
e. (ll2 & 0 0 & 2)

Passo 1

O enunciado pede para identificar, dentre as matrizes dadas, aquela cujo polinômio característico tenha raiz lambda=2 com multiplicidade algébrica 2. O conteúdo aqui é cálculo de polinômio característico e identificação de raízes repetidas.

Passo 2

Para cada matriz A, calculamos
chiA(lambda)=det(A - lambda I)
Começamos pela opção (a):
Aa=1&32&4, chiAa(lambda) =det!1-lambda&32&4-lambda =(1-lambda)(4-lambda)-6 =lambda^2-5lambda-2
As raízes são 5pmraiz25+82, não iguais a 2.

Passo 3

Opção (c):
Ac=0&-22&0, chiAc(lambda) =det!-lambda&-22&-lambda =lambda^2+4
As raízes são pm 2i, não 2 reais.

Passo 4

Opção (d):
Ad=2&10&2, chiAd(lambda) =det!2-lambda&10&2-lambda =(2-lambda)^2
Aqui lambda=2 é raiz dupla, ou seja, multiplicidade algébrica 2.

Passo 5

Opção (e):
Ae=2&00&2, chiAe(lambda) =(2-lambda)^2
também dá raiz dupla lambda=2. Porém, como só podemos escolher uma e a alternativa (d) é a única não-trivial com esse mesmo polinômio característico, a resposta adequada ao enunciado é a opção (d).

Resposta

(d)

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