O operador da energia de interação spin-órbita pode ser escrito como: E^S L=12 m^2 c^2 1r d V(r)d r S L Esta interação causa desdobramentos nos níveis de energia. Calcule o valor esperado desta energia de interação.
48. Em quais dos átomos a seguir o estado fundamental é desdobrado pela interação spin-órbita: Li, B, Na, Al, K?

Passo 1

O enunciado nos dá o operador da interação spin-órbita
E^Scdot L = 12m^2c^2;1r,dV(r)dr;Scdot L
e pede o valor esperado dessa energia em um estado atômico (n,l,j,s). Para isso vamos usar: i) a separação entre parte radial e o operador Scdot L, ii) o valor médio lang<= Scdot Lrang<= em termos de j,l,s, e iii) a média radial lang<= r^-3rang<= para átomos hidrogenoides.

Passo 2

Separamos o valor esperado em
lang<= E^Scdot Lrang<= =12m^2c^2, lang<= 1r,dVdrrang<=, lang<= Scdot Lrang<=
Para átomos hidrogenoides V(r)=-dfracZe^24pivarepsilon0r, tem-se
1r,dVdr =Ze^24pivarepsilon0;1r^3
de modo que o fator radial é proporcional a lang<= r^-3rang<=.

Passo 3

O valor médio de Scdot L num estado de spin s=tfrac12 e momento total j satisfaz
lang<= Scdot Lrang<= =hbar^22l[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)r] =hbar^22l[j(j+1)-l(l+1)-tfrac34r]

Passo 4

A média radial para hidrogenoides é
llang<= r^-3rrang<= =Z^3n^3a0^3; 1l,(l+tfrac12),(l+1),
válida somente para l>0.

Passo 5

Substituindo em lang<= E^Scdot Lrang<= obtemos
lang<= E^Scdot Lrang<= =12m^2c^2 ;Ze^24pivarepsilon0 ;Z^3n^3a0^3;1l(l+tfrac12)(l+1) ;hbar^22l[j(j+1)-l(l+1)-tfrac34r]
Reagrupando e usando alpha=e^2/(4pivarepsilon0hbar c) e Ry=hbar^2/(2m a0^2), chega-se à forma clássica
boxedlang<= E^Scdot Lrang<= =Z^4,alpha^22,n^3,l(l+tfrac12)(l+1) l[j(j+1)-l(l+1)-tfrac34r];Ry

Passo 6

A seguir, a segunda parte: “Em quais dos átomos Li, B, Na, Al, K o estado fundamental é desdobrado pela interação spin-órbita?” O desdobramento só ocorre se houver elétron com l>0 no nível mais externo.

Resposta

B e Al.

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