8.1 No modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio, o raio a0 da 1^ a órbita circular do elétron é dado pela condição de quantização L=hbar, onde hbar=1,055 times 10^-3.4 J cdot s e L é a magnitude do momento angular do elétron em relação ao núcleo (próton). (a) Usando essa condição, mostre que a0=4 pi varepsilon0 hbar^2 /(m e^2), onde m e e são as magnitudes da massa e da carga do elétron, respectivamente. Calcule o valor numérico de a0. (b) Calcule a intensidade de corrente i associada ao movimento do elétron na sua órbita. (c) Calcule a magnitude do campo magnético produzido por essa corrente na posição do núcleo. (d) Calcule a magnitude muB do momento de dipolo magnético associado à corrente ( magneton de Bohr), e mostre que muB / L=e /(2 m) (razão giromagnética clássica). Obtenha o valor numérico de muB.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com o modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio. O exercício tem quatro partes (a, b, c, d) e vamos precisar entender conceitos como momento angular, corrente elétrica, campo magnético e momento de dipolo magnético. Para resolver, vamos usar fórmulas da física clássica e algumas constantes fundamentais.

Passo 2

Parte (a): Mostrar que a0 = 4 pi varepsilon0 hbar^2m e^2 e calcular seu valor numérico.
Primeiro, vamos entender o que cada símbolo representa:
  • a0 : raio da primeira órbita do elétron.
  • varepsilon0 : permissividade do vácuo.
  • hbar : constante de Planck reduzida.
  • m : massa do elétron.
  • e : carga do elétron.
No modelo de Bohr, o momento angular L do elétron é quantizado e igual a hbar . O momento angular também pode ser expresso como L = m v r , onde v é a velocidade e r é o raio da órbita.
Além disso, a força centrípeta que mantém o elétron na órbita é fornecida pela força elétrica de Coulomb:
m v^2r = 14 pi varepsilon0 e^2r^2
Vamos resolver essas equações para encontrar a0 .
  1. Do momento angular: L = m v r = hbar => v = hbarm r
  2. Substituindo v na equação da força:
m (hbarm r)^2r = 14 pi varepsilon0 e^2r^2
hbar^2m r^3 = e^24 pi varepsilon0 r^2
  1. Simplificando:
hbar^2m r = e^24 pi varepsilon0
  1. Isolando r :
r = 4 pi varepsilon0 hbar^2m e^2
Portanto, a0 = 4 pi varepsilon0 hbar^2m e^2
Agora, vamos calcular o valor numérico de a0 :
  • varepsilon0 = 8,85 times 10^-12 , C^2/N cdot m^2
  • hbar = 1,055 times 10^-34 , J cdot s
  • m = 9,11 times 10^-31 , kg
  • e = 1,60 times 10^-19 , C
Substituindo na fórmula:
a0 = 4 pi (8,85 times 10^-12) (1,055 times 10^-34)^2(9,11 times 10^-31) (1,60 times 10^-19)^2
Calculando isso, obtemos:
a0 approx 5,29 times 10^-11 , m

Passo 3

Parte (b): Calcular a intensidade de corrente i associada ao movimento do elétron na sua órbita.
A corrente elétrica i é definida como a carga que passa por um ponto por unidade de tempo. No caso do elétron orbitando, a carga e passa pelo ponto em cada período T da órbita.
Então:
i = eT
Primeiro, precisamos encontrar o período T . Sabemos que:
T = 2 pi rv
Já temos r = a0 e v = hbarm r da Parte (a).
Substituindo v :
T = 2 pi rhbarm r = 2 pi m r^2hbar
Agora, substituindo T na expressão da corrente:
i = e2 pi m r^2hbar = e hbar2 pi m r^2
Substituindo r = a0 :
i = e hbar2 pi m a0^2
Agora, vamos calcular numericamente:
  • e = 1,60 times 10^-19 , C
  • hbar = 1,055 times 10^-34 , J cdot s
  • m = 9,11 times 10^-31 , kg
  • a0 = 5,29 times 10^-11 , m
Substituindo:
i = (1,60 times 10^-19) (1,055 times 10^-34)2 pi (9,11 times 10^-31) (5,29 times 10^-11)^2
i approx 6,84 times 10^-3 , A

Passo 4

Parte (c): Calcular a magnitude do campo magnético produzido por essa corrente na posição do núcleo.
Para uma corrente circular, o campo magnético no centro da órbita é dado por:
B = mu0 i2 r
onde mu0 é a permeabilidade do vácuo ( mu0 = 4 pi times 10^-7 , T cdot m/A ).
Substituindo os valores:
B = 4 pi times 10^-7 times 6,84 times 10^-32 times 5,29 times 10^-11
Calculando:
B approx 8,58 times 10^-91,058 times 10^-10
B approx 8,11 times 10^1 , T

Passo 5

Parte (d): Calcular a magnitude muB do momento de dipolo magnético associado à corrente (magneton de Bohr) e mostrar que muB / L = e /(2 m) . Obter o valor numérico de muB .
O momento de dipolo magnético mu para uma corrente circular é dado por:
mu = i pi r^2
Substituindo i e r = a0 :
muB = e hbar2 pi m a0^2 times pi a0^2 = e hbar2 m
Agora, queremos mostrar que muBL = e2 m :
Sabemos que L = hbar , então:
muBL = e hbar2 mhbar = e2 m
Portanto, muB = e hbar2 m
Agora, calculando numericamente:
  • e = 1,60 times 10^-19 , C
  • hbar = 1,055 times 10^-34 , J cdot s
  • m = 9,11 times 10^-31 , kg
Substituindo:
muB = (1,60 times 10^-19) (1,055 times 10^-34)2 times 9,11 times 10^-31
muB approx 9,27 times 10^-24 , J/T

Resposta

Através dos cálculos, determinamos que:
a) a0 = 5,29 times 10^-11 , m
b) A intensidade de corrente i é aproximadamente 6,84 times 10^-3 , A
c) A magnitude do campo magnético no núcleo é aproximadamente 8,11 times 10^1 , T
d) O magneton de Bohr é muB approx 9,27 times 10^-24 , J/T e a razão muB / L = e /(2 m) foi comprovada.

Exercícios relacionados