8.1 No modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio, o raio
da
órbita circular do elétron é dado pela condição de quantização
, onde
e
é a magnitude do momento angular do elétron em relação ao núcleo (próton). (a) Usando essa condição, mostre que
, onde
e
são as magnitudes da massa e da carga do elétron, respectivamente. Calcule o valor numérico de
. (b) Calcule a intensidade de corrente
associada ao movimento do elétron na sua órbita. (c) Calcule a magnitude do campo magnético produzido por essa corrente na posição do núcleo. (d) Calcule a magnitude
do momento de dipolo magnético associado à corrente ( magneton de Bohr), e mostre que
(razão giromagnética clássica). Obtenha o valor numérico de
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com o modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio. O exercício tem quatro partes (a, b, c, d) e vamos precisar entender conceitos como momento angular, corrente elétrica, campo magnético e momento de dipolo magnético. Para resolver, vamos usar fórmulas da física clássica e algumas constantes fundamentais.
Passo 2
Parte (a): Mostrar que
e calcular seu valor numérico.
Primeiro, vamos entender o que cada símbolo representa:
-
: raio da primeira órbita do elétron. -
: permissividade do vácuo. -
: constante de Planck reduzida. -
: massa do elétron. -
: carga do elétron.
No modelo de Bohr, o momento angular
do elétron é quantizado e igual a
. O momento angular também pode ser expresso como
, onde
é a velocidade e
é o raio da órbita.
Além disso, a força centrípeta que mantém o elétron na órbita é fornecida pela força elétrica de Coulomb:
Vamos resolver essas equações para encontrar
.
- Do momento angular:
=> - Substituindo
na equação da força:
- Simplificando:
- Isolando
:
Portanto,
Agora, vamos calcular o valor numérico de
:
Substituindo na fórmula:
Calculando isso, obtemos:
Passo 3
Parte (b): Calcular a intensidade de corrente
associada ao movimento do elétron na sua órbita.
A corrente elétrica
é definida como a carga que passa por um ponto por unidade de tempo. No caso do elétron orbitando, a carga
passa pelo ponto em cada período
da órbita.
Então:
Primeiro, precisamos encontrar o período
. Sabemos que:
Já temos
e
da Parte (a).
Substituindo
:
Agora, substituindo
na expressão da corrente:
Substituindo
:
Agora, vamos calcular numericamente:
Substituindo:
Passo 4
Parte (c): Calcular a magnitude do campo magnético produzido por essa corrente na posição do núcleo.
Para uma corrente circular, o campo magnético no centro da órbita é dado por:
onde
é a permeabilidade do vácuo (
).
Substituindo os valores:
Calculando:
Passo 5
Parte (d): Calcular a magnitude
do momento de dipolo magnético associado à corrente (magneton de Bohr) e mostrar que
. Obter o valor numérico de
.
O momento de dipolo magnético
para uma corrente circular é dado por:
Substituindo
e
:
Agora, queremos mostrar que
:
Sabemos que
, então:
Portanto,
Agora, calculando numericamente:
Substituindo:
Resposta
Através dos cálculos, determinamos que:
a)
b) A intensidade de corrente
é aproximadamente
c) A magnitude do campo magnético no núcleo é aproximadamente
d) O magneton de Bohr é
e a razão
foi comprovada.