Potencial de uma Casca Esfera Dielétrica com uma Distribuição Uniforme de Carga: Uma dielétrica de raio possui uma carga distribuída uniformemente. Determine o potencial elétrico em pontos: (a) r < R; b) r > R. Represente graficamente o potencial elétrico em função de r.
Passo 1
O enunciado trata de uma esfera de raio com carga total distribuída uniformemente no volume. O objetivo é achar o potencial elétrico nos pontos internos () e externos (), usando simetria esférica, a Lei de Gauss para obter o campo e a relação
Adotaremos a condição de referência .
Passo 2
Primeiro encontramos o campo elétrico por Gauss. Para , a carga contida numa esfera de raio é
logo, pela Lei de Gauss em superfície esférica de raio ,
Para , toda a carga está contida, então
Passo 3
Agora obtemos integrando radialmente de até :
Dividimos em dois casos:
Caso externo:
compatível com .
Caso interno:
Devemos partir de até usando e depois de até usando . Assim
Calculando cada parcela:
.
.
Somando-as:
Passo 4
Reunindo os resultados, o potencial é
]
Passo 5
O gráfico de V(r) versus r é contínuo em r=R. Para r<R, V(r) é decrescente quadraticamente (um arco de parábola invertida), partindo de
V(0)=3Q8piepsilon0R
até
V(R)=Q4piepsilon0R,
e para r>R decai como 1/r, tendendo a zero quando rtoinfty.