Potencial de uma Casca Esfera Dielétrica com uma Distribuição Uniforme de Carga: Uma dielétrica de raio R possui uma carga Q distribuída uniformemente. Determine o potencial elétrico em pontos: (a) r < R; b) r > R. Represente graficamente o potencial elétrico em função de r.

Passo 1

O enunciado trata de uma esfera de raio R com carga total Q distribuída uniformemente no volume. O objetivo é achar o potencial elétrico V(r) nos pontos internos ( r<R) e externos ( r>R), usando simetria esférica, a Lei de Gauss para obter o campo E(r) e a relação
E = -nabla V ,
Adotaremos a condição de referência V(infty)=0.

Passo 2

Primeiro encontramos o campo elétrico por Gauss. Para r<R, a carga contida numa esfera de raio r é
Qrm int(r) = Q,tfrac43pi r^3tfrac43pi R^3 = Q,r^3R^3,,
logo, pela Lei de Gauss em superfície esférica de raio r,
E(r),4pi r^2 = Qrm int(r)epsilon0 Longrightarrow E(r)=14piepsilon0,QR^3,r(r<R)
Para r>R, toda a carga Q está contida, então
E(r)=14piepsilon0,Qr^2(r>R)

Passo 3

Agora obtemos V(r) integrando -E radialmente de r até infty:
V(r) = -integralr^infty E(r'),dr',
Dividimos em dois casos:
Caso externo (r>R):
V(r)=-integralr^infty14piepsilon0,Qr'^2,dr' =14piepsilon0,Qr,,
compatível com V(infty)=0.
Caso interno (r<R):
Devemos partir de r até R usando E(r')=tfracQ4piepsilon0R^3r' e depois de R até infty usando E(r')=tfracQ4piepsilon0r'^2. Assim
V(r)=-integralr^R14piepsilon0QR^3r',dr' -integralR^infty14piepsilon0Qr'^2,dr',
Calculando cada parcela:
1.
-integralr^RQ4piepsilon0R^3r',dr' =-Q4piepsilon0R^3,R^2-r^22 =Q8piepsilon0R^3,(r^2-R^2),
2.
-integralR^inftyQ4piepsilon01r'^2,dr' =Q4piepsilon0R,
Somando-as:
V(r) =Q8piepsilon0R^3,(r^2-R^2) +Q4piepsilon0R =Q8piepsilon0Rl(r^2R^2-1+2r) =Q8piepsilon0Rl(3-r^2R^2r)

Passo 4

Reunindo os resultados, o potencial é
V(r)= Q8piepsilon0 Rl(3-r^2R^2r),,& r<R,[1em] 14piepsilon0,Qr,,& r>R ]

Passo 5

O gráfico de V(r) versus r é contínuo em r=R. Para r<R, V(r) é decrescente quadraticamente (um arco de parábola invertida), partindo de
V(0)=3Q8piepsilon0R
até
V(R)=Q4piepsilon0R,
e para r>R decai como 1/r, tendendo a zero quando rtoinfty.

Resposta

V(r)= Q8piepsilon0 Rl(3-r^2R^2r),,& r<R,[1em] 14piepsilon0,Qr,,& r>R
Gráfico qualitativo de V(r):
c V [1em] |smi<= (parábola)longrightarrow1r (hipérbo<=)to0 |l(r=0r)l(r=Rr)l(rtoinftyr) áé]

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