O operador de Laplace (Laplaciano), De, é definido por De. Dizemos que uma função u(x, y) que satisfaz a equação de Laplace, De, é harmônica. Mostre que as funções dadas são harmônicas: u(x, y)=e^x cos (y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função é harmônica. Isso significa que ela deve satisfazer a equação de Laplace, que envolve calcular o operador de Laplaciano, . Então, vamos precisar calcular as segundas derivadas de em relação a e e somá-las para ver se dá zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função harmônica. Uma função De é chamada de harmônica se, ao aplicar o operador de Laplace nela, o resultado for zero, ou seja:
Onde é a segunda derivada de em relação a e é a segunda derivada em relação a .

Passo 3

Vamos começar calculando a segunda derivada de ux = partialpartial x (e^x cos(y)) = e^x cos(y) em relação a uxx = partialpartial x (e^x cos(y)) = e^x cos(y) . Primeiro, encontramos a primeira derivada:
Agora, derivamos de novo em relação a :

Passo 4

Agora vamos calcular a segunda derivada de uy = partialpartial y (e^x cos(y)) = -e^x sin(y) em relação a uyy = partialpartial y (-e^x sin(y)) = -e^x cos(y) . Primeiro, a primeira derivada:
E a segunda derivada:

Passo 5

Agora que temos De e , vamos somar essas duas:
Como a soma deu zero, isso confirma que é realmente uma função harmônica.

Resposta

A função é harmônica porque .

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