O operador de Laplace (Laplaciano),
, é definido por
. Dizemos que uma função
que satisfaz a equação de Laplace,
, é harmônica. Mostre que as funções dadas são harmônicas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função
é harmônica. Isso significa que ela deve satisfazer a equação de Laplace, que envolve calcular o operador de Laplaciano,
. Então, vamos precisar calcular as segundas derivadas de
em relação a
e
e somá-las para ver se dá zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função harmônica. Uma função
é chamada de harmônica se, ao aplicar o operador de Laplace nela, o resultado for zero, ou seja:
Onde
é a segunda derivada de
em relação a
e
é a segunda derivada em relação a
.
Passo 3
Vamos começar calculando a segunda derivada de
em relação a
. Primeiro, encontramos a primeira derivada:
Agora, derivamos de novo em relação a
:
Passo 4
Agora vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
. Primeiro, a primeira derivada:
E a segunda derivada:
Passo 5
Agora que temos
e
, vamos somar essas duas:
Como a soma deu zero, isso confirma que
é realmente uma função harmônica.
Resposta
A função
é harmônica porque
.