Para o mesmo operador linear do problema anterior, verificar quais dos seguintes vetores pertencem à \operatorname{Im}(f) : \mu_{2}=\left(-\frac{1}{2},-1\right);
Passo 1
O que o enunciado pede:
Verificar se o vetor \mu_{2}=\left(-\tfrac{1}{2},-1\right) pertence a \operatorname{Im}(f).
Informações fornecidas pelo enunciado:
O vetor \mu_{2}=\left(-\tfrac{1}{2},-1\right).
Informações que NÃO foram fornecidas (e que são necessárias para resolver a questão):
A definição do operador linear f (por exemplo, sua regra explícita ou a matriz de f em alguma base).
Sem a regra/matriz de f não há como calcular se existe x tal que f(x)=\mu_{2}.
Conclusão do passo: falta informação essencial (a definição de f); por isso não é possível decidir diretamente pertencimento à imagem só com o dado \mu_{2}.
Passo 2
O que significa pertencer a \operatorname{Im}(f) — explicação didática:
Por definição, \operatorname{Im}(f)=\{\,f(v)\mid v\text{ pertence ao domínio de }f\,\}.
Verificar se \mu_{2}\in\operatorname{Im}(f) equivale a verificar existência de algum x tal que
f(x)=\mu_{2}.
Se f for representada por uma matriz A (em bases dadas), então a verificação reduz-se a resolver o sistema linear
A x = \mu_{2}.
Se o sistema é consistente (tem solução) então \mu_{2}\in\operatorname{Im}(f). Se é inconsistente, então \mu_{2}\notin\operatorname{Im}(f).
Passo 3
Método prático que se usa numa prova (passo a passo) quando a matriz A de f for conhecida:
Escrever a matriz A e o vetor \mu_{2}.
Formar a matriz aumentada [A\mid \mu_{2}].
Aplicar eliminação de Gauss (operações elementares por linhas) para reduzir a matriz aumentada a uma forma onde seja fácil ler se há contradição (uma linha do tipo [0\\\ 0\mid c] com c\neq 0 significa inconsistente).
Se não houver contradição, ler as soluções:
Se A for quadrada e \det(A)\neq 0, existe solução única e então \mu_{2}\in\operatorname{Im}(f).
Se \det(A)=0, podem existir infinitas soluções (ainda pertence à imagem) ou nenhuma (não pertence); a eliminação mostra qual caso ocorre.
Alternativa baseada em posto (rank): calcular \operatorname{rank}(A) e \operatorname{rank}([A\mid \mu_{2}]). Tem solução iff
O posto de A é o número máximo de colunas linearmente independentes.
Incluir \mu_{2} como coluna adicional e recalcular o posto diz se \mu_{2} está no espaço gerado pelas colunas de A (ou seja, na imagem).
Passo 4
Exemplo ilustrativo (para treinar a técnica na prova). Isto é somente um exemplo didático: a matriz abaixo NÃO é a do enunciado (porque a matriz real de f não foi informada).
Suponha que, na prova, f tem matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]2 & 4\end{pmatrix}.
Formamos o sistema A x=\mu_{2}, i.e. a matriz aumentada
Não há contradição; há soluções (infinitas). Portanto, neste exemplo \mu_{2}\in\operatorname{Im}(f). Note que isso aconteceu porque a segunda linha é múltipla da primeira e \mu_{2} está no mesmo múltiplo.
Comentário encorajador: na prova, você sempre aplica esse procedimento: escreve a matriz, monta o sistema, faz eliminação e checa consistência — isso resolve a questão de pertencimento de forma direta.]
Passo 5
Aplicação ao enunciado concreto fornecido aqui:
Como a definição (ou matriz) do operador linear f não foi dada no enunciado que você me enviou, não há como aplicar os procedimentos acima para decidir se \mu_{2}\in\operatorname{Im}(f).
Portanto não se pode afirmar nem que \mu_{2} pertence, nem que não pertence à \operatorname{Im}(f) sem a regra/matriz de f.
Resposta
Não é possível determinar se \mu_{2}=\left(-\tfrac{1}{2},-1\right) pertence a \operatorname{Im}(f) porque a definição (ou matriz) do operador linear f não foi fornecida.