(1.0 pontos) Calcule \int_{S} \int \vec{F} \overrightarrow{d S} se \vec{F}(x, y, z)=3 x \vec{i}+x e^{2} \vec{j}+x^{3} \operatorname{cosh} (x y) \vec{k} e S é a superfície do sólido delimitado pelo cilindro y^{2}+z^{2}=4 e pelos planos x=-3 e x=2.

Passo 1

O enunciado dá:
  • O campo vetorial \vec{F}(x,y,z)=3x\,\vec{i}+x e^{2}\,\vec{j}+x^{3}\operatorname{cosh}(xy)\,\vec{k}.
  • S é a superfície fechada do sólido V limitado pelo cilindro y^{2}+z^{2}=4 e pelos planos x=-3 e x=2.
    O que o problema pede:
  • Calcular o fluxo de \vec{F} através de S, ou seja \displaystyle \iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec S.

Passo 2

Estratégia (motivo prático): como S é a superfície fechada de um sólido V e \vec{F} tem componentes que são funções suaves (polinômios, exponencial e \operatorname{cosh} — todas C ^\infty), podemos aplicar o Teorema da Divergência (Teorema de Gauss). O teorema diz:
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec S=\iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV.
Aqui \nabla\cdot\vec{F} é a divergência de \vec{F} e dV é o elemento de volume. Vou então calcular \nabla\cdot\vec{F} e integrar sobre V.

Passo 3

Calcular a divergência \nabla\cdot\vec{F}. Por definição, para \vec{F}=(F_1,F_2,F_3),
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}.
No nosso caso F_1=3x, F_2=x e^{2} e F_3=x^{3}\operatorname{cosh}(xy).
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(3x)=3.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(x e^{2})=0, porque x e^{2} não depende de y ( e^{2} é constante).
  • \dfrac{\partial}{\partial z}\bigl(x^{3}\operatorname{cosh}(xy)\bigr)=0, porque x^{3}\operatorname{cosh}(xy) não depende de z.
    Portanto
\boxed{\nabla\cdot\vec{F}=3.}

Passo 4

Aplicar o Teorema da Divergência:
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec S=\iiint_{V} 3\,dV = 3\cdot \operatorname{Vol}(V).
Agora calculemos \operatorname{Vol}(V). A região V é o cilindro reto de raio 2 (pois y^{2}+z^{2}\le 4) estendido ao longo de x de -3 até 2. Uma forma simples é usar coordenadas cilíndricas no plano y,z: tomar r=\sqrt{y^{2}+z^{2}}, \theta o ângulo no plano yz, com
y=r\cos\theta,\qquad z=r\sin\theta,
e x permanece x. O Jacobiano para dV é r\,dr\,d\theta\,dx. Os limites são:
  • x de -3 até 2;
  • \theta de 0 até 2\pi;
  • r de 0 até 2.
    Então
\operatorname{Vol}(V)=\int_{x=-3}^{2}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2} r\,dr\,d\theta\,dx.
Calcule as integrais internas passo a passo:
\int_{r=0}^{2} r\,dr=\left.\frac{1}{2}r^{2}\right|_{0}^{2}=\frac{1}{2}\cdot 4=2.
\int_{\theta=0}^{2\pi} 2\,d\theta = 2\cdot 2\pi =4\pi.
\int_{x=-3}^{2} 4\pi\,dx = 4\pi\cdot (2-(-3))=4\pi\cdot 5=20\pi.
Logo \operatorname{Vol}(V)=20\pi.

Passo 5

Fluxo final:
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec S = 3\cdot \operatorname{Vol}(V) = 3\cdot 20\pi = 60\pi.

Resposta

\;60\pi

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