(1.0 pontos) Calcule \int_{S} \int \vec{F} \overrightarrow{d S} se \vec{F}(x, y, z)=3 x \vec{i}+x e^{2} \vec{j}+x^{3} \operatorname{cosh} (x y) \vec{k} e S é a superfície do sólido delimitado pelo cilindro y^{2}+z^{2}=4 e pelos planos x=-3 e x=2.
Passo 1
O enunciado dá:
O campo vetorial \vec{F}(x,y,z)=3x\,\vec{i}+x e^{2}\,\vec{j}+x^{3}\operatorname{cosh}(xy)\,\vec{k}.
S é a superfície fechada do sólido V limitado pelo cilindro y^{2}+z^{2}=4 e pelos planos x=-3 e x=2.
O que o problema pede:
Calcular o fluxo de \vec{F} através de S, ou seja \displaystyle \iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec S.
Passo 2
Estratégia (motivo prático): como S é a superfície fechada de um sólido V e \vec{F} tem componentes que são funções suaves (polinômios, exponencial e \operatorname{cosh} — todas C^\infty), podemos aplicar o Teorema da Divergência (Teorema de Gauss). O teorema diz:
Agora calculemos \operatorname{Vol}(V). A região V é o cilindro reto de raio 2 (pois y^{2}+z^{2}\le 4) estendido ao longo de x de -3 até 2. Uma forma simples é usar coordenadas cilíndricas no plano y,z: tomar r=\sqrt{y^{2}+z^{2}}, \theta o ângulo no plano yz, com
y=r\cos\theta,\qquad z=r\sin\theta,
e x permanece x. O Jacobiano para dV é r\,dr\,d\theta\,dx. Os limites são: