(2.0 pontos) Calcule o integral de fluxo de \vec{F}=9 x \vec{i}+9 y \vec{j}+z \vec{k} sobre a superfície cortada do fundo do paraboloide z=x^{2}+y^{2} pelo plano z=4.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo \vec{F}=9x\,\vec{i}+9y\,\vec{j}+z\,\vec{k} sobre a parte da superfície do paraboloide cortada pelo plano z=4. Informações dadas e o que isto implica:
  • Campo vetorial: \vec{F}=9x\,\vec{i}+9y\,\vec{j}+z\,\vec{k}.
  • Superfície: porção do paraboloide z=x^{2}+y^{2} limitada pelo plano z=4.
  • Interseção com o plano: quando z=4 temos x^{2}+y^{2}=4, ou seja, a projeção no plano xy é o disco \{(x,y):x^{2}+y^{2}\le 4\} (raio 2).
  • A porção do paraboloide considerada é a “copa” desde o vértice z=0 até z=4.
  • A pergunta é: calcular o integral de fluxo \iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS sobre essa porção S do paraboloide. (O enunciado não especifica orientação; ao usar o Teorema da Divergência abaixo, vou tomar a orientação “para fora” do sólido limitado pelo paraboloide e pelo disco z=4.)

Passo 2

Estratégia escolhida e por que: é conveniente usar o Teorema da Divergência (Gauss) fechando a superfície com o disco D em z=4. Explicando o Teorema da Divergência de forma didática:
  • Teorema da Divergência: se V é um volume sólido com fronteira \partial V orientada para fora, então
\iint_{\partial V}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=\iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV.
  • Aqui \nabla\cdot\vec{F} é a divergência do campo e mede localmente a “taxa de saída” do campo por unidade de volume.
  • Aplicação prática: se fecharmos o sólido V limitado pelo paraboloide z=x^{2}+y^{2} e pelo disco D:\,z=4,\;x^{2}+y^{2}\le 4, a fronteira \partial V é a união do pedaço do paraboloide S (superfície lateral curva) e do disco D (topo). Assim
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS+\iint_{D}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=\iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV,
onde as normais em S e D são as normas externas ao volume V. Nosso objetivo é \iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS, então podemos calcular o integral triplo e subtrair o fluxo através de D.

Passo 3

Calcular a divergência \nabla\cdot\vec{F}. Definição e execução:
  • Para \vec{F}=(F_1,F_2,F_3) tem-se \nabla\cdot\vec{F}=\dfrac{\partial F_1}{\partial x}+\dfrac{\partial F_2}{\partial y}+\dfrac{\partial F_3}{\partial z}.
  • Aqui F_1=9x,\;F_2=9y,\;F_3=z. Então
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial}{\partial x}(9x)+\frac{\partial}{\partial y}(9y)+\frac{\partial}{\partial z}(z)=9+9+1=19.
  • Observação didática: a divergência é constante igual a 19, o que facilita muito o cálculo do integral triplo (sai da integral).

Passo 4

Calcular o volume V e o integral triplo \iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV. Usar coordenadas cilíndricas porque a região é rotacionalmente simétrica:
  • Em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) temos x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta,\;dV=r\,dr\,d\theta\,dz.
  • Para o sólido V temos 0\le\theta\le 2\pi, para cada z entre 0 e 4 o raio r varia de 0 até \sqrt{z} (pois z=x^{2}+y^{2}=r^{2}\Rightarrow r=\sqrt{z}), e 0\le z\le 4.
  • Como \nabla\cdot\vec{F}=19 constante,
\iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV=19\iiint_{V}dV=19\int_{z=0}^{4}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{\sqrt{z}} r\,dr\,d\theta\,dz.
  • Calcular as integrais internas passo a passo:
    • \displaystyle \int_{r=0}^{\sqrt{z}} r\,dr=\left.\frac{r^{2}}{2}\right|_{0}^{\sqrt{z}}=\frac{z}{2}.
    • \displaystyle \int_{\theta=0}^{2\pi}\frac{z}{2}\,d\theta=\frac{z}{2}\cdot 2\pi=\pi z.
    • \displaystyle \int_{z=0}^{4}\pi z\,dz=\pi\left.\frac{z^{2}}{2}\right|_{0}^{4}=\pi\cdot\frac{16}{2}=8\pi.
  • Portanto
\iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV=19\cdot 8\pi=152\pi.

Passo 5

Calcular o fluxo através do disco D em z=4. Explicação e execução:
  • Disco D: z=4, x^{2}+y^{2}\le 4. Para o sólido V a normal externa em D aponta para cima, isto é, \vec{n}=\vec{k}.
  • Produto escalar \vec{F}\cdot\vec{n}=F_{3}=z. Sobre D temos z=4, logo \vec{F}\cdot\vec{n}=4 constante.
  • Área do disco de raio 2 é \pi\cdot 2^{2}=4\pi.
  • Assim o fluxo pelo disco é
\iint_{D}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=4\cdot\text{Área}(D)=4\cdot 4\pi=16\pi.Á
  • Observação: poderia também integrar em coordenadas polares \iint_{r\le 2}4\,r\,dr\,d\theta e obter o mesmo resultado.

Passo 6

Obter o fluxo através da porção do paraboloide S usando o balanço do Teorema da Divergência:
  • Do passo 2 temos
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS+\iint_{D}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=\iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV.
  • Substituindo os valores calculados:
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS+16\pi=152\pi.
  • Logo
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=152\pi-16\pi=136\pi.

Resposta

\,136\pi

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