(2.0 pontos) Calcule o integral de fluxo de \vec{F}=9 x \vec{i}+9 y \vec{j}+z \vec{k} sobre a superfície cortada do fundo do paraboloide z=x^{2}+y^{2} pelo plano z=4.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo \vec{F}=9x\,\vec{i}+9y\,\vec{j}+z\,\vec{k} sobre a parte da superfície do paraboloide cortada pelo plano z=4. Informações dadas e o que isto implica:
Campo vetorial: \vec{F}=9x\,\vec{i}+9y\,\vec{j}+z\,\vec{k}.
Superfície: porção do paraboloide z=x^{2}+y^{2} limitada pelo plano z=4.
Interseção com o plano: quando z=4 temos x^{2}+y^{2}=4, ou seja, a projeção no plano xy é o disco \{(x,y):x^{2}+y^{2}\le 4\} (raio 2).
A porção do paraboloide considerada é a “copa” desde o vértice z=0 até z=4.
A pergunta é: calcular o integral de fluxo \iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS sobre essa porção S do paraboloide. (O enunciado não especifica orientação; ao usar o Teorema da Divergência abaixo, vou tomar a orientação “para fora” do sólido limitado pelo paraboloide e pelo disco z=4.)
Passo 2
Estratégia escolhida e por que: é conveniente usar o Teorema da Divergência (Gauss) fechando a superfície com o disco D em z=4. Explicando o Teorema da Divergência de forma didática:
Teorema da Divergência: se V é um volume sólido com fronteira \partial V orientada para fora, então
Aqui \nabla\cdot\vec{F} é a divergência do campo e mede localmente a “taxa de saída” do campo por unidade de volume.
Aplicação prática: se fecharmos o sólido V limitado pelo paraboloide z=x^{2}+y^{2} e pelo disco D:\,z=4,\;x^{2}+y^{2}\le 4, a fronteira \partial V é a união do pedaço do paraboloide S (superfície lateral curva) e do disco D (topo). Assim
onde as normais em S e D são as normas externas ao volume V. Nosso objetivo é \iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS, então podemos calcular o integral triplo e subtrair o fluxo através de D.
Passo 3
Calcular a divergência \nabla\cdot\vec{F}. Definição e execução:
Para \vec{F}=(F_1,F_2,F_3) tem-se \nabla\cdot\vec{F}=\dfrac{\partial F_1}{\partial x}+\dfrac{\partial F_2}{\partial y}+\dfrac{\partial F_3}{\partial z}.
Observação didática: a divergência é constante igual a 19, o que facilita muito o cálculo do integral triplo (sai da integral).
Passo 4
Calcular o volume V e o integral triplo \iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV. Usar coordenadas cilíndricas porque a região é rotacionalmente simétrica:
Em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) temos x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta,\;dV=r\,dr\,d\theta\,dz.
Para o sólido V temos 0\le\theta\le 2\pi, para cada z entre 0 e 4 o raio r varia de 0 até \sqrt{z} (pois z=x^{2}+y^{2}=r^{2}\Rightarrow r=\sqrt{z}), e 0\le z\le 4.