O operador de momento angular pode apontar exatamente ao longo do eixo z ?
Justifique
Passo 1
O enunciado pergunta se o operador de momento angular pode apontar exatamente ao longo do eixo
. Vou listar claramente o que isso significa e quais informações usarei:
- O operador de momento angular total é
. - A pergunta "apontar exatamente ao longo do eixo
" quer dizer: existe um estado quântico tal que as componentes e atuam sobre dando zero (ou seja, medição exata nula dessas componentes) e tem um valor definido não nulo? Formalmente, quer-se algo como com (ou, mais geralmente, um vetor com e igual ao módulo total). - Informações padrão de teoria de momento angular que vou usar: as relações de comutação e os autovalores de
e .
Passo 2
Relembrando as propriedades básicas (aula rápida e necessária):
- As componentes do operador de momento angular satisfazem as comutações
onde é o símbolo de Levi-Civita. Isso implica que não comutam entre si, logo não podem ter autovetores simultâneos (em geral). - Os autovalores simultâneos conhecidos são para os operadores
e : existe base de estados tais que com e .
Explicando de forma simples:
dá o quadrado do módulo total do momento angular e
dá a projeção ao longo de
. Esses dois podem ser conhecidos ao mesmo tempo, mas as outras componentes ficam incertas.
Passo 3
Calculemos a relação entre o módulo total e a projeção
num autestado
. Usando que
se
então tomando esperanças (ou valores próprios)
Mas
, logo
Observação importante:
e
são não-negativas. Para que o vetor de momento “aponte exatamente” ao longo de
seria necessário que as componentes
e
tivessem valor preciso zero, isto é,
. Assim seria necessário
Passo 4
Avaliação do requisito encontrado: analise se existe
e
com
.
- Pelo domínio de
temos . Então . - Mas
, e para qualquer temos (a menos de , aí ). - Portanto
para todo . Conclusão: não existe tal que quando . - A única possibilidade de igualdade ocorre se
. Para temos e : nesse caso o momento angular é nulo (não há momento), então trivialmente todas as componentes são zero — mas isso não é "apontar ao longo de " com módulo diferente de zero.
Portanto, para qualquer estado com momento angular não nulo (
) não é possível ter
.
Passo 5
Prova alternativa e direta usando comutadores (mais conceitual):
- Suponha que exista
tal que com não nulo. - Aplique o comutador
sobre : - Pelo lado esquerdo, como
e , tem-se e . Então o lado esquerdo é zero, implicando . - Isso força
. Contradição com . Logo não existe tal com e aniquilando o estado e dando valor não nulo. - Conclusão: não é possível ter as duas componentes transversais exatamente zero enquanto a componente
é não nula. Só é possível tudo zero simultaneamente (caso trivial ).
Passo 6
Exemplo numérico rápido para intuir: spin-1/2.
- Para
e temos - O módulo efetivo
seria , enquanto a projeção máxima é . Há uma diferença: a projeção não chega ao módulo total; as componentes e têm incerteza compatível para “compor” a diferença.
Isso ilustra concretamente que mesmo no caso de spin-1/2 (o mais simples), não se tem vetor exato apontando só em
.
Passo 7
Comentário físico e sobre o limite clássico (ânimo!):
- Em mecânica quântica os três componentes não comutam, então não é permitido conhecê-las simultaneamente com precisão arbitrária. É por isso que o momento angular não pode ser um vetor clássico com todas as componentes bem definidas.
- No limite clássico (grandes
), a diferença entre e é pequena relativa ao valor, então um estado pode ser bastante “direcionado” (estados coerentes de spin aproximam um vetor dirigido), mas ainda haverá incerteza quântica finita. Em provas, normalmente a resposta pedida é que “não, exceto no caso trivial ”, explicando o motivo matemático quântico.
Resposta
Não — exceto no caso trivial
. Para
as relações de comutação impedem que
e
sejam simultaneamente nulas num estado com
definido; em autestados
tem-se
, portanto o operador de momento angular não pode apontar exatamente ao longo de
(salvo se o momento for nulo).