Considere
:
a) A que números quânticos
e
está associada?
b) Mostre que essa função é autofunção de
.
a) A que números quânticos
b) Mostre que essa função é autofunção de
Passo 1
O enunciado nos dá a função
Pede-se:
(a) determinar os números quânticos e
associados a essa função;
(b) mostrar que essa função é autofunção do operador e, portanto, encontrar o autovalor correspondente.
(a) determinar os números quânticos
(b) mostrar que essa função é autofunção do operador
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A parte dependente de
é . - A dependência em
é . - A constante
é apenas fator de normalização.
Passo 2
Identificar
a partir da dependência angular em
.
Explicação rápida (fórmula usada): funções próprias do operador
têm dependência de
do tipo
, onde
é o número quântico magnético (inteiro, com
) e o autovalor de
é
.
Aqui a dependência em
é
. Logo
Passo 3
Identificar
a partir da dependência em
.
Explicação didática: os harmônicos esféricos têm forma geral
onde
são os polinômios associados de Legendre. Para
e
tem-se (até sinal convenção)
Tomando
obtemos
. Portanto a dependência
é característica de
e
. Assim
Observação: o fator de normalização dado no enunciado coincide com a normalização padrão de
, então a função é exatamente o harmônico esférico
.
Passo 4
Escrever o operador
em coordenadas esféricas e explicar termos.
Fórmula (a usar):
Explicação dos símbolos:
-
é a constante de Planck reduzida. -
e são os ângulos polares e azimutais. - As derivadas agem sobre a função angular
.
Nosso objetivo é aplicar esse operador à função dada e verificar que o resultado é um múltiplo escalar da própria função (autofunção).
Passo 5
Calcular a derivada em
(parte mais simples).
Seja
para abreviar, de modo que
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Portanto
Passo 6
Calcular as derivadas em
e montar a ação completa de
.
Primeiro:
Multiplicando por
:
Agora a derivada desse termo:
Dividindo por
obtemos a contribuição
:
Somando as contribuições de
e
dentro dos colchetes do operador:
Simplificar o numerador usando
:
Então a soma fica
Agora aplicar o fator externo de
:
Passo 7
Interpretar o resultado final.
Achamos
Isto é consistente com a fórmula geral de autovalores de
para harmônicos esféricos:
Substituindo
obtemos
, exatamente o que foi calculado. Portanto a função é autofunção de
com autovalor
.
Resposta
a)
b)
b)