Sabendo que:
\begin{aligned} \hat{L}_{z} & =-i \hbar \frac{\partial}{\partial \varphi} \\\ \hat{L}^{2} & =-\hbar^{2}\left[\frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{\sin ^{2} \theta} \frac{\partial^{2}}{\partial \varphi^{2}}\right] \end{aligned}
Prove que \hat{L}^{2} e \hat{L}_{z} comutam.

Passo 1

O enunciado fornece as expressões diferenciais em coordenadas esféricas:
\hat{L}_{z} = -i\hbar \frac{\partial}{\partial \varphi}
\hat{L}^{2} = -\hbar^{2}\left[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\!\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right) + \frac{1}{\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2}}{\partial\varphi^{2}}\right]
O que se pede: provar que \hat{L}^{2} e \hat{L}_{z} comutam, isto é mostrar que o comutador
\bigl[\hat{L}^{2},\hat{L}_{z}\bigr] \equiv \hat{L}^{2}\hat{L}_{z} - \hat{L}_{z}\hat{L}^{2}
é o operador nulo.
Informações relevantes dadas:
  • As únicas variáveis são \theta e \varphi.
  • Os coeficientes em \hat{L}^{2} dependem apenas de \theta, não de \varphi.
  • \hat{L}_{z} é proporcional a \partial/\partial\varphi.

Passo 2

Estratégia: mostrar que o comutador age como zero em uma função arbitrária suficientemente suave \psi(\theta,\varphi). Como ambos são operadores diferenciais lineares, se \bigl[\hat{L}^{2},\hat{L}_{z}\bigr]\psi=0 para todo \psi da classe considerada, então o comutador é o operador nulo.
Lembrete útil (fórmula do comutador aplicada a \psi):
\bigl[\hat{L}^{2},\hat{L}_{z}\bigr]\psi = \hat{L}^{2}\bigl(\hat{L}_{z}\psi\bigr) - \hat{L}_{z}\bigl(\hat{L}^{2}\psi\bigr).

Passo 3

Para simplificar a notação, separe a parte angular radial de \hat{L}^{2}. Defina
\hat{A} \equiv \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\!\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right), \qquad \hat{B} \equiv \frac{1}{\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2}}{\partial\varphi^{2}}.
Então
\hat{L}^{2} = -\hbar^{2}(\hat{A} + \hat{B}),\qquad \hat{L}_{z} = -i\hbar\,\partial_{\varphi},
onde escrevo \partial_{\varphi} para \frac{\partial}{\partial\varphi}.

Passo 4

Calcule \hat{L}^{2}(\hat{L}_{z}\psi) explicitamente:
\begin{aligned} \hat{L}^{2}\bigl(\hat{L}_{z}\psi\bigr) &= -\hbar^{2}\bigl(\hat{A} + \hat{B}\bigr)\bigl(-i\hbar\,\partial_{\varphi}\psi\bigr) \\\ &= -i\hbar^{3}\bigl(\hat{A}(\partial_{\varphi}\psi) + \hat{B}(\partial_{\varphi}\psi)\bigr). \end{aligned}
Agora observe duas propriedades fundamentais que vamos usar:
  1. Derivadas parciais mistas com funções suaves comutam: \partial_{\theta}\partial_{\varphi}=\partial_{\varphi}\partial_{\theta}.
  2. Multiplicação por uma função que depende só de \theta (por exemplo \sin\theta ou 1/\sin^{2}\theta) comuta com \partial_{\varphi}, porque essas funções não dependem de \varphi.
Com essas observações, pode-se mover \partial_{\varphi} para a direita dos operadores \hat{A} e \hat{B}:
\hat{A}(\partial_{\varphi}\psi)=\partial_{\varphi}\bigl(\hat{A}\psi\bigr), \qquad \hat{B}(\partial_{\varphi}\psi)=\partial_{\varphi}\bigl(\hat{B}\psi\bigr).
Logo
\hat{L}^{2}\bigl(\hat{L}_{z}\psi\bigr) = -i\hbar^{3}\,\partial_{\varphi}\bigl(\hat{A}\psi + \hat{B}\psi\bigr).

Passo 5

Reescrevendo a expressão do passo anterior, usando que -\hbar^{2}(\hat{A}+\hat{B})=\hat{L}^{2}, obtemos
\hat{L}^{2}\bigl(\hat{L}_{z}\psi\bigr) = -i\hbar\,\partial_{\varphi}\bigl(-\hbar^{2}(\hat{A}+\hat{B})\psi\bigr) = -i\hbar\,\partial_{\varphi}\bigl(\hat{L}^{2}\psi\bigr).
Mas o lado direito é exatamente \hat{L}_{z}(\hat{L}^{2}\psi), pois \hat{L}_{z}=-i\hbar\,\partial_{\varphi}. Portanto
\hat{L}^{2}\bigl(\hat{L}_{z}\psi\bigr)=\hat{L}_{z}\bigl(\hat{L}^{2}\psi\bigr).

Passo 6

Da igualdade do passo anterior segue que, para qualquer função suave \psi(\theta,\varphi),
\bigl[\hat{L}^{2},\hat{L}_{z}\bigr]\psi = \hat{L}^{2}\bigl(\hat{L}_{z}\psi\bigr)-\hat{L}_{z}\bigl(\hat{L}^{2}\psi\bigr)=0.
Logo o comutador é o operador nulo: \bigl[\hat{L}^{2},\hat{L}_{z}\bigr]=0.
Comentário físico rápido (motivação intuitiva): isso significa que \hat{L}^{2} e \hat{L}_{z} têm um conjunto comum de autofunções (os harmônicos esféricos Y_{\ell}^{m}), por isso podem ser simultaneamente diagonalizados — mas a prova formal que fizemos acima é apenas manipulação das derivadas e coeficientes.

Resposta

\displaystyle \bigl[\hat{L}^{2},\hat{L}_{z}\bigr]=0

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