Sabendo que:
Prove que
comutam.
Passo 1
O enunciado fornece as expressões diferenciais em coordenadas esféricas:
O que se pede: provar que
e
comutam, isto é mostrar que o comutador
é o operador nulo.
Informações relevantes dadas:
- As únicas variáveis são
e . - Os coeficientes em
dependem apenas de , não de . -
é proporcional a .
Passo 2
Estratégia: mostrar que o comutador age como zero em uma função arbitrária suficientemente suave
. Como ambos são operadores diferenciais lineares, se
para todo
da classe considerada, então o comutador é o operador nulo.
Lembrete útil (fórmula do comutador aplicada a
):
Passo 3
Para simplificar a notação, separe a parte angular radial de
. Defina
Então
onde escrevo
para
.
Passo 4
Calcule
explicitamente:
Agora observe duas propriedades fundamentais que vamos usar:
- Derivadas parciais mistas com funções suaves comutam:
. - Multiplicação por uma função que depende só de
(por exemplo ou ) comuta com , porque essas funções não dependem de .
Com essas observações, pode-se mover
para a direita dos operadores
e
:
Logo
Passo 5
Reescrevendo a expressão do passo anterior, usando que
, obtemos
Mas o lado direito é exatamente
, pois
. Portanto
Passo 6
Da igualdade do passo anterior segue que, para qualquer função suave
,
Logo o comutador é o operador nulo:
.
Comentário físico rápido (motivação intuitiva): isso significa que
e
têm um conjunto comum de autofunções (os harmônicos esféricos
), por isso podem ser simultaneamente diagonalizados — mas a prova formal que fizemos acima é apenas manipulação das derivadas e coeficientes.