As faces de um cubo cujas arestas possuem 3 m de comprimento são paralelas aos planos coordenados. O cubo possui um vértice na origem. Uma mosca parte da origem e caminha ao longo de três arestas até atingir o vértice mais distante. Escreva o vetor deslocamento da mosca utilizando os vetores unitários ux, uy e uz e determine o módulo do deslocamento e sua direção.

Passo 1

O enunciado descreve um cubo de aresta 3 m cujas faces são paralelas aos planos coordenados, com um vértice na origem (0,0,0) e o vértice mais distante em (3,3,3). A mosca sai da origem e percorre três arestas até esse vértice. Queremos representar o deslocamento em termos dos vetores unitários ux, uy, uz, calcular seu módulo e indicar sua direção. Para isso usaremos a ideia de soma de vetores componentes, norma de vetor e vetor unitário de direção.

Passo 2

Cada aresta percorre 3 m ao longo de um dos eixos. Assim o deslocamento total é a soma dos deslocamentos em x, y e z:
vec d = 3,ux + 3,uy + 3,uz

Passo 3

O módulo de vec d é dado por
lVert vec drVert = raiz(3)^2 + (3)^2 + (3)^2 = raiz27 = 3raiz3,

Passo 4

A direção de vec d é dada pelo vetor unitário na sua direção:
hat d = vec dlVert vec drVert = 3,ux + 3,uy + 3,uz3raiz3 = 1raiz3l(ux + uy + uzr)
Em outros termos, os cossenos diretores em relação aos eixos x,y,z são todos iguais a tfrac1raiz3.

Resposta

Deslocamento:
vec d = 3,ux + 3,uy + 3,uz
Módulo:
lVert vec drVert = 3raiz3 m
Direção (vetor unitário):
hat d = 1raiz3,l(ux + uy + uzr)

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