(Operações vetoriais e suas identidades) Verifique a validade das identidades vetoriais a seguir. Utilize notação indicial para realizar todos os cálculos e considere que
é um número real.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a validade da identidade
Informações dadas/assumidas:
-
são vetores em (crucial porque usa produto vetorial). -
é um número real (o enunciado menciona, mas esta identidade não depende de ). - Objetivo: provar que a igualdade acima é verdadeira, usando notação indicial (índices, soma de Einstein,
e ).
Passo 2
Defino a notação e ferramentas que vou usar (é importante entender cada símbolo):
- Componentes dos vetores: escrevo
, etc.; em notação indicial uso , , , . Seguirei a convenção de soma de Einstein: um índice repetido num mesmo termo é somado de a . - Produto vetorial em componentes: o
-ésimo componente de é
onde
é o símbolo de Levi-Civita (ou símbolo totalmente antissimétrico).
- Produto escalar:
(índices repetidos somados). - Identidade fundamental usada para contrair dois símbolos
com um índice em comum (identidade padrão):
onde
é o delta de Kronecker (
se
,
caso contrário). Essa identidade é clássica e pode ser mostrada listando valores ou usando propriedades de antissimetria; aqui vou usá‑la diretamente como ferramenta.
Passo 3
Escrevo o lado esquerdo da identidade em notação indicial. Começo por transformar cada produto vetorial em componentes e depois o produto escalar:
Substituindo as componentes dos produtos vetoriais:
Note que o índice
está repetido em cada
e será somado (contratação), assim como
estão sujeitos à soma conforme aparecem repetidos.
Passo 4
Aplico a identidade de contração dos dois
para eliminar o índice
:
Substituindo na expressão do Passo 3:
Passo 5
Agora faço as contrações com os deltas. Lembre que
, etc. Desenvolvendo os dois termos:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
Lembrando o sinal menos entre os termos, obtemos
Passo 6
Concluo que a expressão obtida no Passo 5 é exatamente o lado direito da identidade proposta. Portanto a identidade é verdadeira para vetores em
(onde o produto vetorial e o símbolo
estão definidos e valem as identidades usadas).