(Operações vetoriais e suas identidades) Verifique a validade das identidades vetoriais a seguir. Utilize notação indicial para realizar todos os cálculos e considere que a é um número real.
(\vec{A} \times \vec{B}) cdot(\vec{C} \times \vec{D})=(\vec{A} cdot \vec{C})(\vec{B} cdot \vec{D})-(\vec{A} cdot \vec{D})(\vec{B} cdot \vec{C})

Passo 1

O enunciado pede para verificar a validade da identidade
(\vec{A}\times\vec{B})\cdot(\vec{C}\times\vec{D})=(\vec{A}\cdot\vec{C})(\vec{B}\cdot\vec{D})-(\vec{A}\cdot\vec{D})(\vec{B}\cdot\vec{C}).
Informações dadas/assumidas:
  • \vec{A},\vec{B},\vec{C},\vec{D} são vetores em \mathbb{R}^3 (crucial porque usa produto vetorial).
  • a é um número real (o enunciado menciona, mas esta identidade não depende de a).
  • Objetivo: provar que a igualdade acima é verdadeira, usando notação indicial (índices, soma de Einstein, \varepsilon e \delta).

Passo 2

Defino a notação e ferramentas que vou usar (é importante entender cada símbolo):
  • Componentes dos vetores: escrevo \vec{A}=\big(A_1,A_2,A_3\big), etc.; em notação indicial uso A_i, B_j, C_k, D_\ell. Seguirei a convenção de soma de Einstein: um índice repetido num mesmo termo é somado de 1 a 3.
  • Produto vetorial em componentes: o i-ésimo componente de \vec{A}\times\vec{B} é
(\vec{A}\times\vec{B})_i=\varepsilon_{ijk}A_j B_k,
onde \varepsilon_{ijk} é o símbolo de Levi-Civita (ou símbolo totalmente antissimétrico).
  • Produto escalar: \vec{X}\cdot\vec{Y}=X_i Y_i (índices repetidos somados).
  • Identidade fundamental usada para contrair dois símbolos \varepsilon com um índice em comum (identidade padrão):
\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ipq}=\delta_{jp}\delta_{kq}-\delta_{jq}\delta_{kp},
onde \delta_{mn} é o delta de Kronecker ( \delta_{mn}=1 se m=n, 0 caso contrário). Essa identidade é clássica e pode ser mostrada listando valores ou usando propriedades de antissimetria; aqui vou usá‑la diretamente como ferramenta.

Passo 3

Escrevo o lado esquerdo da identidade em notação indicial. Começo por transformar cada produto vetorial em componentes e depois o produto escalar:
(\vec{A}\times\vec{B})\cdot(\vec{C}\times\vec{D}) =(\vec{A}\times\vec{B})_i\,(\vec{C}\times\vec{D})_i.
Substituindo as componentes dos produtos vetoriais:
(\vec{A}\times\vec{B})\cdot(\vec{C}\times\vec{D}) =\varepsilon_{ijk}A_j B_k \;\varepsilon_{ipq}C_p D_q.
Note que o índice i está repetido em cada \varepsilon e será somado (contratação), assim como j,k,p,q estão sujeitos à soma conforme aparecem repetidos.

Passo 4

Aplico a identidade de contração dos dois \varepsilon para eliminar o índice i:
\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ipq}=\delta_{jp}\delta_{kq}-\delta_{jq}\delta_{kp}.
Substituindo na expressão do Passo 3:
\varepsilon_{ijk}A_j B_k \;\varepsilon_{ipq}C_p D_q =\big(\delta_{jp}\delta_{kq}-\delta_{jq}\delta_{kp}\big)A_j B_k C_p D_q.

Passo 5

Agora faço as contrações com os deltas. Lembre que \delta_{jp} A_j C_p = A_j C_j = \vec{A}\cdot\vec{C}, etc. Desenvolvendo os dois termos:
  • Primeiro termo:
\delta_{jp}\delta_{kq}A_j B_k C_p D_q = A_j B_k C_j D_k = (A_j C_j)(B_k D_k)=(\vec{A}\cdot\vec{C})(\vec{B}\cdot\vec{D}).
  • Segundo termo:
\delta_{jq}\delta_{kp}A_j B_k C_p D_q = A_j B_k C_k D_j = (A_j D_j)(B_k C_k)=(\vec{A}\cdot\vec{D})(\vec{B}\cdot\vec{C}).
Lembrando o sinal menos entre os termos, obtemos
\varepsilon_{ijk}A_j B_k \;\varepsilon_{ipq}C_p D_q =(\vec{A}\cdot\vec{C})(\vec{B}\cdot\vec{D})-(\vec{A}\cdot\vec{D})(\vec{B}\cdot\vec{C}).

Passo 6

Concluo que a expressão obtida no Passo 5 é exatamente o lado direito da identidade proposta. Portanto a identidade é verdadeira para vetores em \mathbb{R}^3 (onde o produto vetorial e o símbolo \varepsilon_{ijk} estão definidos e valem as identidades usadas).

Resposta

(\vec{A}\times\vec{B})\cdot(\vec{C}\times\vec{D})=(\vec{A}\cdot\vec{C})(\vec{B}\cdot\vec{D})-(\vec{A}\cdot\vec{D})(\vec{B}\cdot\vec{C})

Exercícios relacionados