Uma partícula em um poço quadrado infinito de dimensões 0 \leq x \leq L e encontra-se em um estado descrito por:
\psi(x, t)=i \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{\frac{2}{L}} \operatorname{sen}\left(\frac{\pi x}{L}\right) e^{-i E_{1} t / \hbar}+\frac{1}{\sqrt{2 L}} \operatorname{sen}\left(\frac{3 \pi x}{L}\right) e^{-i E_{3} t / \hbar}
a) O estado \psi(x, t) é normalizado?
b) Quais valores podem ser medidos para a energia e com quais probabilidades?

Passo 1

Vamos organizar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados do enunciado (pegos da expressão dada):
\psi(x,t)=i\,\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\!\left(\frac{\pi x}{L}\right)e^{-iE_{1}t/\hbar} +\frac{1}{\sqrt{2L}}\sin\!\left(\frac{3\pi x}{L}\right)e^{-iE_{3}t/\hbar},
válida em 0\le x\le L.
  • O enunciado faz duas perguntas:
    a) O estado \psi(x,t) é normalizado?
    b) Quais valores podem ser medidos para a energia e com quais probabilidades?
Nada mais será assumido: vamos usar a base de autostaos do poço infinito, que tem funções próprias normalizadas e ortogonais. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Relembrar o que significa normalização e como extrair probabilidades de medição de energia.
  • Normalização: um estado quântico \psi(x,t) está normalizado se
\int_{0}^{L}|\psi(x,t)|^{2}\,dx=1.
  • No poço infinito as autofunções estacionárias (normalizadas) são
\phi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right),\qquad n=1,2,3,\dots
essas \phi_n são ortonormais, isto é
\int_{0}^{L}\phi_n^*(x)\phi_m(x)\,dx=\delta_{nm}.
  • Se \psi(x,t) está escrita como combinação linear de \phi_n,
\psi(x,t)=\sum_n c_n \,\phi_n(x)\,e^{-iE_n t/\hbar},
então o coeficiente complexo c_n é a amplitude para o autovalor E_n e a probabilidade de medir E_n é
P(E_n)=|c_n|^2.
A normalização do estado é equivalente à soma das probabilidades ser 1:
\sum_n |c_n|^2=1.

Passo 3

Identificar explicitamente os coeficientes c_n da expansão em \phi_n.
Comparando a expressão dada com \phi_n(x)=\sqrt{\dfrac{2}{L}}\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right):
  • O primeiro termo é
i\,\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\!\left(\frac{\pi x}{L}\right)e^{-iE_{1}t/\hbar} = \left(i\,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\phi_1(x)\,e^{-iE_1 t/\hbar},
logo o coeficiente correspondente é
c_1=i\,\frac{\sqrt{3}}{2}.
  • O segundo termo é dado por
\frac{1}{\sqrt{2L}}\sin\!\left(\frac{3\pi x}{L}\right)e^{-iE_{3}t/\hbar}.
Mas \phi_3(x)=\sqrt{\dfrac{2}{L}}\sin\!\left(\dfrac{3\pi x}{L}\right). Portanto
\frac{1}{\sqrt{2L}}\sin\!\left(\frac{3\pi x}{L}\right) =\left(\frac{1}{2}\right)\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\!\left(\frac{3\pi x}{L}\right) =\left(\frac{1}{2}\right)\phi_3(x).
Logo o coeficiente correspondente é
c_3=\frac{1}{2}.
Todos os demais coeficientes c_n (com n\neq 1,3) são zero.

Passo 4

Verificar a normalização usando os coeficientes obtidos.
Como as \phi_n são ortonormais, o integral de |\psi|^2 reduz-se à soma das normas dos coeficientes:
\int_0^L|\psi(x,t)|^2\,dx=\sum_n |c_n|^2 = |c_1|^2+|c_3|^2.
Calcular:
|c_1|^2=\left|i\,\frac{\sqrt{3}}{2}\right|^2=\frac{3}{4}, \qquad |c_3|^2=\left|\frac{1}{2}\right|^2=\frac{1}{4}.
Somando:
|c_1|^2+|c_3|^2=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1.
Portanto \int_0^L|\psi|^2dx=1: o estado está normalizado. Observação didática: o fator de fase i em c_1 não altera a probabilidade porque a probabilidade usa o módulo quadrado |c_1|^2. Além disso, qualquer termo misto (produto entre \phi_1 e \phi_3) desapareceria ao integrar por causa da ortogonalidade.

Passo 5

Quais energias podem ser medidas e com que probabilidades.
  • Os únicos autovalores presentes na expansão são E_1 e E_3. Para o poço infinito os autovalores gerais são
E_n=\frac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2mL^{2}},\qquad n=1,2,3,\dots
onde m é a massa da partícula e L a largura do poço.
  • Portanto os valores mensuráveis de energia aqui são
E_1=\frac{\pi^{2}\hbar^{2}}{2mL^{2}} \quad\text{e}\quad E_3=\frac{9\pi^{2}\hbar^{2}}{2mL^{2}}.
  • As probabilidades correspondentes são P(E_n)=|c_n|^2, já calculadas:
P(E_1)=|c_1|^2=\frac{3}{4},\qquad P(E_3)=|c_3|^2=\frac{1}{4}.
Essas probabilidades são independentes do tempo porque os fatores de fase temporais \mathrm{e}^{-iE_n t/\hbar} cancelam ao tomar o módulo.

Resposta

a) Sim, \psi está normalizada.
b) E_1=\dfrac{\pi^{2}\hbar^{2}}{2mL^{2}} com probabilidade \dfrac{3}{4};
E_3=\dfrac{9\pi^{2}\hbar^{2}}{2mL^{2}} com probabilidade \dfrac{1}{4}.

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