O enunciado faz duas perguntas:
a) O estado \psi(x,t) é normalizado?
b) Quais valores podem ser medidos para a energia e com quais probabilidades?
Nada mais será assumido: vamos usar a base de autostaos do poço infinito, que tem funções próprias normalizadas e ortogonais. A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Relembrar o que significa normalização e como extrair probabilidades de medição de energia.
Normalização: um estado quântico \psi(x,t) está normalizado se
\int_{0}^{L}|\psi(x,t)|^{2}\,dx=1.
No poço infinito as autofunções estacionárias (normalizadas) são
Portanto \int_0^L|\psi|^2dx=1: o estado está normalizado. Observação didática: o fator de fase i em c_1 não altera a probabilidade porque a probabilidade usa o módulo quadrado |c_1|^2. Além disso, qualquer termo misto (produto entre \phi_1 e \phi_3) desapareceria ao integrar por causa da ortogonalidade.
Passo 5
Quais energias podem ser medidas e com que probabilidades.
Os únicos autovalores presentes na expansão são E_1 e E_3. Para o poço infinito os autovalores gerais são