Um operário de uma obra de construção puxa uma tábua de 5 metros para cima, ao longo da parede de um edifício em construção, utilizando uma corda que está presa numa das extremidades da tábua. Considere que a ponta livre da tábua se desloca num caminho perpendicular à parede do edifício e que o operário está puxando a corda a uma taxa de 0,15 metros por segundo. A que velocidade a ponta que está no chão está se deslocando quando esta se encontra a 4 metros da parede?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um problema de taxas relacionadas, que faz parte do cálculo diferencial. A situação envolve uma tábua de 5 metros que está sendo puxada pelo operário. A tábua está posicionada de forma que uma ponta está na parede e a outra no chão, formando um triângulo retângulo. O operário está puxando a corda a uma velocidade de 0,15 metros por segundo. Precisamos descobrir a que velocidade a ponta da tábua no chão está se movendo para longe da parede quando essa ponta está a 4 metros da parede. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Pitágoras e derivar em relação ao tempo para relacionar as taxas de variação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as variáveis envolvidas:
  • x: distância da ponta da tábua no chão até a parede (em metros).
  • y: altura da tábua na parede (em metros).
Como a tábua forma um triângulo retângulo com a parede e o chão, podemos usar o Teorema de Pitágoras:
x^2 + y^2 = 5^2
Isso simplifica para:
x^2 + y^2 = 25

Passo 3

Agora, vamos derivar essa equação em relação ao tempo t para relacionar as velocidades com que x e y estão mudando.
ddt(x^2) + ddt(y^2) = ddt(25)
Derivando cada termo:
2x cdot dxdt + 2y cdot dydt = 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
x cdot dxdt + y cdot dydt = 0

Passo 4

Queremos encontrar a velocidade $ \frac{dx}{dt} $ quando x = 4 metros. Sabemos que o operário está puxando a corda a uma velocidade de $ \frac{dy}{dt} = 0,15 $ metros por segundo. Primeiro, precisamos achar o valor de y quando x = 4 metros usando a equação de Pitágoras:
dxdt
dydt = 0,15
4^2 + y^2 = 25
16 + y^2 = 25 metros
Agora, substituímos os valores na equação derivada:
y^2 = 9
y = 3
Resolvendo para $ \frac{dx}{dt} $:
4 cdot dxdt + 3 cdot 0,15 = 0
4 cdot dxdt + 0,45 = 0
dxdt metros por segundo
O sinal negativo indica que a distância x está diminuindo, mas como estamos interessados na velocidade de afastamento, consideramos o valor absoluto.

Resposta

A ponta da tábua no chão está se afastando da parede a uma velocidade de 0,1125 metros por segundo quando está a 4 metros da parede.

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