Questão 2: Seja alpha(t)=(sen(2 t), 2 sen^2 t, 2 cos t).
a) (1.5). Verifique que o traço de alpha está contido numa esfera centrada na origem;
b) (1.0). Mostre que a projeção ortogonal do vetor velocidade no plano x y, tem comprimento constante.

Passo 1

Beleza, vamos começar com a Questão 2a. A gente tem o vetor posição alpha(t) = (sin(2t), 2sin^2 t, 2cos t) e precisamos verificar se o traço desse vetor está dentro de uma esfera centrada na origem. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente a equação da esfera e como relacionar as componentes de alpha(t) para mostrar que elas satisfazem essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação geral de uma esfera centrada na origem:
x^2 + y^2 + z^2 = R^2
onde (x, y, z) são as coordenadas de qualquer ponto na esfera e R é o raio da esfera.

Passo 3

Agora, vamos substituir as componentes de alpha(t) na equação da esfera para ver se a igualdade é satisfeita:
x = sin(2t)
y = 2sin^2 t
z = 2cos t

Passo 4

Vamos calcular x^2 + y^2 + z^2:
x^2 = sin^2(2t)
y^2 = (2sin^2 t)^2 = 4sin^4 t
z^2 = (2cos t)^2 = 4cos^2 t

Passo 5

Somando essas expressões:
x^2 + y^2 + z^2 = sin^2(2t) + 4sin^4 t + 4cos^2 t

Passo 6

Vamos simplificar sin^2(2t) usando a identidade trigonométrica sin(2t) = 2sin t cos t, então:
sin^2(2t) = (2sin t cos t)^2 = 4sin^2 t cos^2 t

Passo 7

Substituindo de volta na soma:
x^2 + y^2 + z^2 = 4sin^2 t cos^2 t + 4sin^4 t + 4cos^2 t

Passo 8

Podemos fatorar o 4:
x^2 + y^2 + z^2 = 4(sin^2 t cos^2 t + sin^4 t + cos^2 t)

Passo 9

Observando que sin^2 t + cos^2 t = 1, vamos reescrever a expressão dentro dos parênteses:
sin^2 t cos^2 t + sin^4 t + cos^2 t = sin^2 t (cos^2 t + sin^2 t) + cos^2 t = sin^2 t (1) + cos^2 t = sin^2 t + cos^2 t = 1

Passo 10

Portanto:
x^2 + y^2 + z^2 = 4 times 1 = 4

Passo 11

Agora, vamos para a Questão 2b. Precisamos mostrar que a projeção ortogonal do vetor velocidade de alpha(t) no plano xy tem comprimento constante. Vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de vetores e projeções.

Passo 12

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade, que é a derivada de alpha(t) em relação a t:
alpha(t) = (sin(2t), 2sin^2 t, 2cos t)

Passo 13

Calculando a derivada componente a componente:
alpha'(t) = (ddtsin(2t), ddt(2sin^2 t), ddt(2cos t))

Passo 14

Derivando cada componente:
ddtsin(2t) = 2cos(2t)
ddt(2sin^2 t) = 4sin t cos t
ddt(2cos t) = -2sin t
Então,
alpha'(t) = (2cos(2t), 4sin t cos t, -2sin t)

Passo 15

A projeção ortogonal do vetor velocidade no plano xy é simplesmente as componentes x e y do vetor velocidade:
Projeção = (2cos(2t), 4sin t cos t)çã

Passo 16

Para encontrar o comprimento dessa projeção, usamos a fórmula da magnitude de um vetor:
|Projeção| = raiz(2cos(2t))^2 + (4sin t cos t)^2çã

Passo 17

Calculando os quadrados:
(2cos(2t))^2 = 4cos^2(2t)
(4sin t cos t)^2 = 16sin^2 t cos^2 t

Passo 18

Somando esses valores:
|Projeção| = raiz4cos^2(2t) + 16sin^2 t cos^2 tçã

Passo 19

Podemos fatorar o 4:
|Projeção| = raiz4(cos^2(2t) + 4sin^2 t cos^2 t)çã
|Projeção| = 2raizcos^2(2t) + 4sin^2 t cos^2 tçã

Passo 20

Usando a identidade trigonométrica cos(2t) = 1 - 2sin^2 t, podemos simplificar a expressão dentro da raiz:
cos^2(2t) + 4sin^2 t cos^2 t = (1 - 2sin^2 t)^2 + 4sin^2 t cos^2 t
= 1 - 4sin^2 t + 4sin^4 t + 4sin^2 t (1 - sin^2 t)
= 1 - 4sin^2 t + 4sin^4 t + 4sin^2 t - 4sin^4 t
= 1

Resposta

Portanto, o comprimento da projeção ortogonal do vetor velocidade no plano xy é constante e igual a 2, já que:
|Projeção| = 2raiz1 = 2çã

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