Questão 2: Seja
.
a) (1.5). Verifique que o traço de
está contido numa esfera centrada na origem;
b) (1.0). Mostre que a projeção ortogonal do vetor velocidade no plano
, tem comprimento constante.
a) (1.5). Verifique que o traço de
b) (1.0). Mostre que a projeção ortogonal do vetor velocidade no plano
Passo 1
Beleza, vamos começar com a Questão 2a. A gente tem o vetor posição
e precisamos verificar se o traço desse vetor está dentro de uma esfera centrada na origem. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente a equação da esfera e como relacionar as componentes de
para mostrar que elas satisfazem essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação geral de uma esfera centrada na origem:
onde
Passo 3
Agora, vamos substituir as componentes de
na equação da esfera para ver se a igualdade é satisfeita:
Passo 4
Vamos calcular
:
Passo 5
Somando essas expressões:
Passo 6
Vamos simplificar
usando a identidade trigonométrica
, então:
Passo 7
Substituindo de volta na soma:
Passo 8
Podemos fatorar o 4:
Passo 9
Observando que
, vamos reescrever a expressão dentro dos parênteses:
Passo 10
Portanto:
Passo 11
Agora, vamos para a Questão 2b. Precisamos mostrar que a projeção ortogonal do vetor velocidade de
no plano
tem comprimento constante. Vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de vetores e projeções.
Passo 12
Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade, que é a derivada de
em relação a
:
Passo 13
Calculando a derivada componente a componente:
Passo 14
Derivando cada componente:
Então,
Passo 15
A projeção ortogonal do vetor velocidade no plano
é simplesmente as componentes
e
do vetor velocidade:
Passo 16
Para encontrar o comprimento dessa projeção, usamos a fórmula da magnitude de um vetor:
Passo 17
Calculando os quadrados:
Passo 18
Somando esses valores:
Passo 19
Podemos fatorar o 4:
Passo 20
Usando a identidade trigonométrica
, podemos simplificar a expressão dentro da raiz:
Resposta
Portanto, o comprimento da projeção ortogonal do vetor velocidade no plano
é constante e igual a
, já que: