Se
, então o sistema homogêneo
tem infinitas soluções ? Justifique sua resposta.
14. Podemos resolver um sistema usando matriz inversa da seguinte forma:
14. Podemos resolver um sistema usando matriz inversa da seguinte forma:
Passo 1
O enunciado dá uma matriz quadrada
(porque
só faz sentido para matrizes quadradas) e informa que
. Pede-se para responder se o sistema homogêneo
tem infinitas soluções e justificar. Informações relevantes que temos do enunciado:
-
. - O sistema é homogêneo (termo independente é o vetor
). - Não foi dito explicitamente o corpo dos coeficientes, mas normalmente trabalhamos em
ou .
As perguntas implícitas:
- O sistema tem solução não-trivial (além de
)? - Se houver solução não-trivial, são infinitas?
Passo 2
Entender o que significa
. Vou explicar de um jeito direto e intuitivo.
- Definição útil:
significa que a matriz é singular, isto é, não é invertível. Em palavras: não existe tal que .
Por que isso importa para o sistema homogêneo? Se
fosse invertível (ou seja,
), poderíamos multiplicar ambos os lados por
e obter:
Ou seja, quando
a única solução do sistema homogêneo é a solução trivial
.
Passo 3
Agora o caso
. Vou mostrar que então existe pelo menos uma solução não-trivial. Uma maneira direta e elementar:
- As colunas de
são vetores em . indica que as colunas são linearmente dependentes (pois o determinante mede se as colunas formam uma base). Linearmente dependentes significa que existem escalares, nem todos zero, tais que
onde
é a
-ésima coluna de
.
- Escrevendo o vetor
, a soma acima é exatamente . Como os não são todos zero, é uma solução não-trivial de .
Portanto,
garante a existência de pelo menos uma solução não-trivial.
Passo 4
Se existe uma solução não-trivial, por que então são infinitas? Dois argumentos simples:
- Argumento da multiplicação por escalar (válido quando o corpo é infinito, p.ex.
ou ). Se satisfaz , então para qualquer escalar temos
Como o corpo é infinito, os vetores
são infinitos e distintos quando variamos
, logo há infinitas soluções.
- Argumento por parâmetros livres (mais próximo do que se faz em prova/cola): como as colunas são linearmente dependentes, a classificação por posto diz que o posto
satisfaz . O espaço das soluções (núcleo de ) tem dimensão . Um subespaço de dimensão pelo menos em contém infinitos vetores, então há infinitas soluções.
Ambos os argumentos mostram que existe não só uma, mas uma família infinita de soluções.
Passo 5
Vou ilustrar com um exemplo numérico bem simples e mostrar passo a passo como aparecem infinitas soluções.
Considere
Aqui
As duas equações são dependentes (a segunda é
. Tomando
como parâmetro livre, obtemos a família de soluções
com
. Como
varia em
, há infinitas soluções.]
Passo 6
Observação sobre corpos finitos: se os coeficientes estão em um corpo finito
(com
elementos), então o conjunto de soluções é finito, mas ainda assim, quando existe solução não-trivial, o número de soluções é
(onde
é o posto). Assim, em
ou
(corpos infinitos) conclui-se “infinitas soluções”; em corpos finitos conclui-se "mais de uma solução, precisamente
".
Também reafirmando: o método apresentado no enunciado que usa
(isto é,
) só pode ser aplicado quando
. Se
não existe
e esse método falha.
Resposta
Sim. Se
então
é singular e existe uma solução não-trivial de
; em corpos infinitos (por exemplo
ou
) isso implica que há infinitas soluções.