Se \operatorname{det} A=0, então o sistema homogêneo A X=0 tem infinitas soluções ? Justifique sua resposta.
14. Podemos resolver um sistema usando matriz inversa da seguinte forma:
\begin{aligned} A X & =B \\ A^{-1} A X & =A^{-1} B \\ X & =A^{-1} B \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá uma matriz quadrada A (porque \det A só faz sentido para matrizes quadradas) e informa que \det A=0. Pede-se para responder se o sistema homogêneo
A X = 0
tem infinitas soluções e justificar. Informações relevantes que temos do enunciado:
  • \det A=0.
  • O sistema é homogêneo (termo independente é o vetor 0).
  • Não foi dito explicitamente o corpo dos coeficientes, mas normalmente trabalhamos em \mathbb{R} ou \mathbb{C}.
As perguntas implícitas:
  • O sistema tem solução não-trivial (além de X=0)?
  • Se houver solução não-trivial, são infinitas?

Passo 2

Entender o que significa \det A=0. Vou explicar de um jeito direto e intuitivo.
  • Definição útil: \det A=0 significa que a matriz A é singular, isto é, não é invertível. Em palavras: não existe A^{-1} tal que A^{-1}A=I.
Por que isso importa para o sistema homogêneo? Se A fosse invertível (ou seja, \det A\neq0), poderíamos multiplicar ambos os lados por A^{-1} e obter:
A^{-1}A X = A^{-1}0 \quad\Rightarrow\quad X = 0.
Ou seja, quando \det A\neq0 a única solução do sistema homogêneo é a solução trivial X=0.

Passo 3

Agora o caso \det A=0. Vou mostrar que então existe pelo menos uma solução não-trivial. Uma maneira direta e elementar:
  • As colunas de A são vetores em \mathbb{R}^n. \det A=0 indica que as colunas são linearmente dependentes (pois o determinante mede se as colunas formam uma base). Linearmente dependentes significa que existem escalares, nem todos zero, \lambda_1,\dots,\lambda_n tais que
\lambda_1 \mathbf{c}_1 + \lambda_2 \mathbf{c}_2 + \cdots + \lambda_n \mathbf{c}_n = 0,
onde \mathbf{c}_j é a j-ésima coluna de A.
  • Escrevendo o vetor \lambda=(\lambda_1,\dots,\lambda_n)^T, a soma acima é exatamente A\lambda = 0. Como os \lambda_j não são todos zero, \lambda é uma solução não-trivial de A X = 0.
Portanto, \det A=0 garante a existência de pelo menos uma solução não-trivial.

Passo 4

Se existe uma solução não-trivial, por que então são infinitas? Dois argumentos simples:
  1. Argumento da multiplicação por escalar (válido quando o corpo é infinito, p.ex. \mathbb{R} ou \mathbb{C}). Se v\neq0 satisfaz A v = 0, então para qualquer escalar t temos
A(t v)=t\,(A v)=t\cdot 0 = 0.
Como o corpo é infinito, os vetores t v são infinitos e distintos quando variamos t, logo há infinitas soluções.
  1. Argumento por parâmetros livres (mais próximo do que se faz em prova/cola): como as colunas são linearmente dependentes, a classificação por posto diz que o posto \operatorname{rank}(A)=r satisfaz r < n. O espaço das soluções (núcleo de A) tem dimensão n-r\ge 1. Um subespaço de dimensão pelo menos 1 em \mathbb{R}^n contém infinitos vetores, então há infinitas soluções.
Ambos os argumentos mostram que existe não só uma, mas uma família infinita de soluções.

Passo 5

Vou ilustrar com um exemplo numérico bem simples e mostrar passo a passo como aparecem infinitas soluções.
Considere
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix}.
Aqui \det A = 1\cdot 4 - 2\cdot 2 = 0\). O sistema homogêneo é \[\begin{cases} x_1 + 2x_2 = 0,\\[4pt] 2x_1 + 4x_2 = 0. \end{cases}
As duas equações são dependentes (a segunda é 2\] vezes a primeira). Da primeira temos \(x_1 = -2 x_2. Tomando x_2=t como parâmetro livre, obtemos a família de soluções
X = \begin{pmatrix}x_1\\[4pt] x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2t\\[4pt] t\end{pmatrix} = t\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\end{pmatrix},
com t\in\mathbb{R}. Como t varia em \mathbb{R}, há infinitas soluções.]

Passo 6

Observação sobre corpos finitos: se os coeficientes estão em um corpo finito \mathbb{F}_q (com q elementos), então o conjunto de soluções é finito, mas ainda assim, quando existe solução não-trivial, o número de soluções é q^{\,n-r} (onde r é o posto). Assim, em \mathbb{R} ou \mathbb{C} (corpos infinitos) conclui-se “infinitas soluções”; em corpos finitos conclui-se "mais de uma solução, precisamente q^{n-r}".
Também reafirmando: o método apresentado no enunciado que usa A^{-1} (isto é, X=A^{-1}B) só pode ser aplicado quando \det A\neq0. Se \det A=0 não existe A^{-1} e esse método falha.

Resposta

Sim. Se \det A=0 então A é singular e existe uma solução não-trivial de A X=0; em corpos infinitos (por exemplo \mathbb{R} ou \mathbb{C}) isso implica que há infinitas soluções.

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