Questão-02. Descreva o domínio e imagem de cada função:
f(x)=\log _{a}|x|

Passo 1

O enunciado pede que eu descreva o domínio e a imagem da função f(x)=\log_{a}|x|. Informações dadas e observações importantes que vou usar:
  • A função é f(x)=\log_{a}|x|.
  • O símbolo a é a base do logaritmo; para que \log_{a} esteja bem definido convém assumir que a>0 e a\neq 1. Se a\le 0 ou a=1 a função logarítmica não é definida nas regras usuais.
  • Vou considerar primeiramente o caso padrão a>0,\;a\neq 1.
    (não vou resolver nada ainda, só organizei o que o enunciado dá)

Passo 2

Entendendo o argumento do logaritmo: o logaritmo \log_{a}(t) só está definido para argumentos t>0. Aqui o argumento é |x|. Vamos lembrar uma propriedade básica do valor absoluto:
|x|\ge 0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R},
e
|x|=0\iff x=0.
Portanto a condição |x|>0 é equivalente a x\neq 0. Isso já sugere o domínio da função.

Passo 3

Concluir o domínio com base na observação anterior:
  • Como \log_{a} exige argumento positivo e |x|>0 equivale a x\neq 0, o domínio natural (sob a hipótese a>0,\;a\neq 1) é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq 0\} = (-\infty,0)\cup(0,\infty).
Expliquei por que: qualquer x diferente de zero tem |x|>0, então \log_{a}|x| está bem definido; x=0 |x|=0 e \log_{a}0 não existe.

Passo 4

Agora vamos estudar a imagem (conjunto de valores que f assume). Uma maneira direta e elegante: tomar um valor arbitrário y\in\mathbb{R} e resolver \log_{a}|x|=y para ver se existe x que produza esse y.
Passos:
  • A equação \log_{a}|x|=y é equivalente a |x|=a^{y}, usando a definição inversa do logaritmo.
  • Para qualquer y\in\mathbb{R}, a^{y}>0 porque a>0. Logo existe um número positivo a^{y} e podemos escolher x tal que |x|=a^{y}; por exemplo x=a^{y} ou x=-a^{y} são soluções possíveis e válidas (ambos estão no domínio).
  • Assim, para todo y\in\mathbb{R} existe x com f(x)=y. Portanto a imagem é todo \mathbb{R}.

Passo 5

Complemento didático (importante para a prova): comportamento e sinais
  • A função \log_{a}t é contínua para t>0 e é estritamente crescente se a>1 e estritamente decrescente se 0<a<1. Isso não altera a imagem no nosso caso: seja crescente ou decrescente, o conjunto de valores que atinge ao variar t em (0,\infty) é \mathbb{R}.
  • Exemplos rápidos para fixar:
    • f(1)=\log_{a}|1|=\log_{a}1=0.
    • Se y=2 queremos f(x)=2; então |x|=a^{2} e podemos pegar x=a^{2} ou x=-a^{2}.
  • Comportamento nas extremidades (intuição): quando |x|\to 0^{+} o valor de \log_{a}|x| vai para -\infty se a>1 (ou para +\infty se 0<a<1), e quando |x|\to\infty o valor vai para +\infty se a>1 (ou para -\infty se 0<a<1). Em ambos os casos a função atinge valores arbitrariamente grandes e arbitrariamente pequenos, cobrindo \mathbb{R}.

Passo 6

Situação fora do caso padrão:
  • Se a=1 a expressão \log_{1} não é definida como função logarítmica (base inválida).
  • Se a\le 0 também não se trabalha com \log_{a} nas regras usuais (base inválida).
    Portanto a resposta válida assume a>0 e a\neq 1.

Resposta

Domínio: (-\infty,0)\cup(0,\infty).
Imagem: \mathbb{R} (para a>0,\;a\neq 1).

Exercícios relacionados