Questão-02. Descreva o domínio e imagem de cada função:
Passo 1
O enunciado pede que eu descreva o domínio e a imagem da função
. Informações dadas e observações importantes que vou usar:
- A função é
. - O símbolo
é a base do logaritmo; para que esteja bem definido convém assumir que e . Se ou a função logarítmica não é definida nas regras usuais. - Vou considerar primeiramente o caso padrão
.
(não vou resolver nada ainda, só organizei o que o enunciado dá)
Passo 2
Entendendo o argumento do logaritmo: o logaritmo
só está definido para argumentos
. Aqui o argumento é
. Vamos lembrar uma propriedade básica do valor absoluto:
e
Portanto a condição
é equivalente a
. Isso já sugere o domínio da função.
Passo 3
Concluir o domínio com base na observação anterior:
- Como
exige argumento positivo e equivale a , o domínio natural (sob a hipótese ) é
Expliquei por que: qualquer
diferente de zero tem
, então
está bem definido;
dá
e
não existe.
Passo 4
Agora vamos estudar a imagem (conjunto de valores que
assume). Uma maneira direta e elegante: tomar um valor arbitrário
e resolver
para ver se existe
que produza esse
.
Passos:
Passos:
- A equação
é equivalente a , usando a definição inversa do logaritmo. - Para qualquer
, porque . Logo existe um número positivo e podemos escolher tal que ; por exemplo ou são soluções possíveis e válidas (ambos estão no domínio). - Assim, para todo
existe com . Portanto a imagem é todo .
Passo 5
Complemento didático (importante para a prova): comportamento e sinais
- A função
é contínua para e é estritamente crescente se e estritamente decrescente se . Isso não altera a imagem no nosso caso: seja crescente ou decrescente, o conjunto de valores que atinge ao variar em é . - Exemplos rápidos para fixar:
-
. - Se
queremos ; então e podemos pegar ou .
-
- Comportamento nas extremidades (intuição): quando
o valor de vai para se (ou para se ), e quando o valor vai para se (ou para se ). Em ambos os casos a função atinge valores arbitrariamente grandes e arbitrariamente pequenos, cobrindo .
Passo 6
Situação fora do caso padrão:
- Se
a expressão não é definida como função logarítmica (base inválida). - Se
também não se trabalha com nas regras usuais (base inválida).
Portanto a resposta válida assumee .
Resposta
Domínio:
.
Imagem:
(para
).