Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(b) Se A é uma matriz 4 \times 3 e B é 3 \times 4, então A B não é invertível.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz 4\times3 e B é uma matriz 3\times4. O produto AB tem dimensão 4\times4. A pergunta é se essa matriz quadrada AB pode ser invertível. Para responder, vamos usar conceitos de posto (rank) de matrizes e a relação entre posto e invertibilidade.

Passo 2

Uma propriedade geral de posto de produto de matrizes é
\rank(AB)\;\le\;\min\{\rank(A),\,\rank(B)\}.
Além disso, como A é 4\times3, seu posto satisfaz
\rank(A)\;\le\;\min\{4,3\}\;=\;3.

Passo 3

Combinando, obtemos
\rank(AB)\;\le\;\rank(A)\;\le\;3\;<\;4.
Mas para uma matriz quadrada 4\times4 ser invertível é preciso que seu posto seja 4. Aqui vimos que \rank(AB)\le3, logo \det(AB)=0 e AB é singular (não invertível).

Resposta

A afirmação é Verdadeira. Prova: pelo argumento de posto acima, \rank(AB)\le3<4, logo AB não pode ser invertível.

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