Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(b) Se
é uma matriz
e
é
, então
não é invertível.
(b) Se
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz
e
é uma matriz
. O produto
tem dimensão
. A pergunta é se essa matriz quadrada
pode ser invertível. Para responder, vamos usar conceitos de posto (rank) de matrizes e a relação entre posto e invertibilidade.
Passo 2
Uma propriedade geral de posto de produto de matrizes é
Além disso, como
é
, seu posto satisfaz
Passo 3
Combinando, obtemos
Mas para uma matriz quadrada
ser invertível é preciso que seu posto seja
. Aqui vimos que
, logo
e
é singular (não invertível).
Resposta
A afirmação é Verdadeira. Prova: pelo argumento de posto acima,
, logo
não pode ser invertível.