\operatorname{det}\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & -1 & 2 & 0 \\\\ 2 & -1 & 3 & 1 \\\\ 4 & 17 & 0 & -5\end{array}\right]

Passo 1

O problema pede o determinante da matriz 4\times4
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & -1 & 2 & 0 \\\\ 2 & -1 & 3 & 1 \\\\ 4 & 17 & 0 & -5 \end{pmatrix}.
Dados relevantes: os elementos de cada linha e coluna estão todos listados acima. A tarefa é calcular \det dessa matriz.

Passo 2

Vou lembrar umas propriedades básicas de determinante que vou usar (explicadas de forma prática):
  • Se uma linha L_j é substituída por L_j + c\cdot L_i (somar múltiplo de outra linha), o determinante não muda. Ou seja, operações do tipo L_j \leftarrow L_j + cL_i preservam \det.
  • Se duas linhas da matriz são idênticas, então o determinante é zero. Intuitivamente: trocar essas duas linhas não altera a matriz, mas trocar linhas muda o sinal do determinante; logo \det = -\det e assim \det=0.
    Vou usar operações que preservam o determinante para produzir uma situação com linhas iguais (ou uma linha nula), o que me dará a resposta rapidamente.

Passo 3

Aplicar operações que não mudam o determinante para zerar a primeira coluna abaixo da primeira linha.
Faço as operações:
L_2 \leftarrow L_2 - L_1,\qquad L_3 \leftarrow L_3 - 2L_1,\qquad L_4 \leftarrow L_4 - 4L_1.
Cada uma dessas operações é do tipo “somar múltiplo de uma linha a outra”, portanto não alteram \det. Calculando cada nova linha:
  • L_2 - L_1: \bigl(1-1,\; -1-0,\; 2-1,\; 0-1\bigr) = \bigl(0,\,-1,\,1,\,-1\bigr).
  • L_3 - 2L_1: \bigl(2-2,\; -1-0,\; 3-2,\; 1-2\bigr) = \bigl(0,\,-1,\,1,\,-1\bigr).
  • L_4 - 4L_1: \bigl(4-4,\; 17-0,\; 0-4,\; -5-4\bigr) = \bigl(0,\,17,\,-4,\,-9\bigr).
A matriz transformada (com o mesmo determinante da original) é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & -1 & 1 & -1 \\\\ 0 & -1 & 1 & -1 \\\\ 0 & 17 & -4 & -9 \end{pmatrix}.

Passo 4

Observação imediata: as linhas L_2 e L_3 são idênticas, ambas iguais a \bigl(0,\,-1,\,1,\,-1\bigr). Pela propriedade explicada no Passo 2, se uma matriz tem duas linhas iguais então o determinante é zero. Não é necessário prosseguir com mais eliminações ou cálculo de cofatores: já podemos concluir que
\det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & -1 & 2 & 0 \\\\ 2 & -1 & 3 & 1 \\\\ 4 & 17 & 0 & -5 \end{pmatrix} = 0,
porque as operações feitas preservaram o determinante e levaram a uma matriz com duas linhas iguais.

Resposta

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