Dados relevantes: os elementos de cada linha e coluna estão todos listados acima. A tarefa é calcular \det dessa matriz.
Passo 2
Vou lembrar umas propriedades básicas de determinante que vou usar (explicadas de forma prática):
Se uma linha L_j é substituída por L_j + c\cdot L_i (somar múltiplo de outra linha), o determinante não muda. Ou seja, operações do tipo L_j \leftarrow L_j + cL_i preservam \det.
Se duas linhas da matriz são idênticas, então o determinante é zero. Intuitivamente: trocar essas duas linhas não altera a matriz, mas trocar linhas muda o sinal do determinante; logo \det = -\det e assim \det=0.
Vou usar operações que preservam o determinante para produzir uma situação com linhas iguais (ou uma linha nula), o que me dará a resposta rapidamente.
Passo 3
Aplicar operações que não mudam o determinante para zerar a primeira coluna abaixo da primeira linha.
Faço as operações:
Observação imediata: as linhas L_2 e L_3 são idênticas, ambas iguais a \bigl(0,\,-1,\,1,\,-1\bigr). Pela propriedade explicada no Passo 2, se uma matriz tem duas linhas iguais então o determinante é zero. Não é necessário prosseguir com mais eliminações ou cálculo de cofatores: já podemos concluir que