(V/F) Se
e
são
, então
.
Passo 1
O enunciado pergunta se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa quando
e
são matrizes
:
Informações dadas:
e
são matrizes quadradas
. O objetivo é decidir Verdadeiro (V) ou Falso (F).
Passo 2
Relembrando duas propriedades importantes (explicadas com calma):
- A transposta de uma matriz
é a matriz em que se trocam linhas por colunas. Por exemplo, se
então
- A determinante satisfaz
para qualquer matriz quadrada . Isso acontece porque a operação de transpor apenas reordena elementos de forma que o valor do determinante (que é uma soma alternada de produtos) é preservado.
Essas propriedades não implicam, porém, que
em geral — estamos comparando determinantes de somas, e determinante não é linear:
não tem uma fórmula simples em termos de
e
.]
Passo 3
Estratégia: para mostrar que a afirmação é falsa basta encontrar um contraexemplo concreto (uma escolha de
e
tais que as duas determinantes sejam diferentes). Vou construir um contraexemplo simples com
para facilitar os cálculos à mão.
Passo 4
Escolho as matrizes
Observação: peguei
e
diferentes e simples; note que
.]
Passo 5
Calculo
. Somando termo a termo:
Para matrizes
a fórmula do determinante é: se
então
. Aplicando a
com
:
Passo 6
Agora calculo
. Como observado,
, então
Usando a fórmula do determinante para esta matriz com
:
Passo 7
Comparando os resultados:
e
. Como os dois valores são diferentes, a igualdade pedida no enunciado falha para este par
. Portanto a afirmação é falsa em geral.
Passo 8
Comentário didático final e ânimo: isso mostra o ponto central — embora
, a operação de transpor dentro de uma soma com outra matriz pode mudar a soma de modo que as determinantes das somas sejam diferentes. Não desanima: contraexemplos assim são a maneira mais direta de provar que uma igualdade matricial não vale para todas as matrizes.
Resposta
Falso.