(V/F) Se A e B são n \times n, então \operatorname{det}\left(A+B^{T}\right)=\operatorname{det}(A+B).

Passo 1

O enunciado pergunta se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa quando A e B são matrizes n\times n:
\operatorname{det}\bigl(A+B^{T}\bigr)=\operatorname{det}(A+B).
Informações dadas: A e B são matrizes quadradas n\times n. O objetivo é decidir Verdadeiro (V) ou Falso (F).

Passo 2

Relembrando duas propriedades importantes (explicadas com calma):
  • A transposta de uma matriz B é a matriz B^{T} em que se trocam linhas por colunas. Por exemplo, se
B=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\[4pt] b_{21}&b_{22}\end{pmatrix},
então
B^{T}=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{21}\\[4pt] b_{12}&b_{22}\end{pmatrix}.
  • A determinante satisfaz \operatorname{det}(B^{T})=\operatorname{det}(B) para qualquer matriz quadrada B. Isso acontece porque a operação de transpor apenas reordena elementos de forma que o valor do determinante (que é uma soma alternada de produtos) é preservado.
Essas propriedades não implicam, porém, que \operatorname{det}(A+B^{T})=\operatorname{det}(A+B) em geral — estamos comparando determinantes de somas, e determinante não é linear: \operatorname{det}(X+Y) não tem uma fórmula simples em termos de \operatorname{det}(X) e \operatorname{det}(Y).]

Passo 3

Estratégia: para mostrar que a afirmação é falsa basta encontrar um contraexemplo concreto (uma escolha de A e B tais que as duas determinantes sejam diferentes). Vou construir um contraexemplo simples com n=2 para facilitar os cálculos à mão.

Passo 4

Escolho as matrizes 2\times2
A=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix}.
Observação: peguei A e B diferentes e simples; note que B^{T}= \begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix}=A.]

Passo 5

Calculo A+B. Somando termo a termo:
A+B=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]1&0\end{pmatrix}.
Para matrizes 2\times2 a fórmula do determinante é: se
M=\begin{pmatrix}a&b\\[4pt]c&d\end{pmatrix},
então \operatorname{det}(M)=ad-bc. Aplicando a A+B com a=0,b=1,c=1,d=0:
\operatorname{det}(A+B)=0\cdot0-1\cdot1=-1.]

Passo 6

Agora calculo A+B^{T}. Como observado, B^{T}=A, então
A+B^{T}=A+A=2A=\begin{pmatrix}0&2\\[4pt]0&0\end{pmatrix}.
Usando a fórmula do determinante para esta matriz com a=0,b=2,c=0,d=0:
\operatorname{det}(A+B^{T})=0\cdot0-2\cdot0=0.]

Passo 7

Comparando os resultados: \operatorname{det}(A+B)=-1 e \operatorname{det}(A+B^{T})=0. Como os dois valores são diferentes, a igualdade pedida no enunciado falha para este par (A,B). Portanto a afirmação é falsa em geral.

Passo 8

Comentário didático final e ânimo: isso mostra o ponto central — embora \operatorname{det}(B^{T})=\operatorname{det}(B), a operação de transpor dentro de uma soma com outra matriz pode mudar a soma de modo que as determinantes das somas sejam diferentes. Não desanima: contraexemplos assim são a maneira mais direta de provar que uma igualdade matricial não vale para todas as matrizes.

Resposta

Falso.

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