Se
e
, calcule
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
. -
.
O que se pede: calcular.
Observações implícitas que aceitamos:
e
são matrizes quadradas (pois têm determinante), e
é invertível (pois
e aparece
).
Passo 2
Lembra da propriedade multiplicativa do determinante: para quaisquer matrizes quadradas compatíveis em ordem,
Explicação curta e intuitiva: o determinante mede o fator de escala orientado de volumes quando se aplica a transformação linear representada por uma matriz; aplicar
e depois
escala o volume por
e depois por
, logo pelo produto.
Passo 3
Outra propriedade importante: o determinante da transposta é igual ao determinante da matriz:
Explicação simples: a definição do determinante via somas sobre permutações mostra que trocar linhas por colunas (transpor) não altera o valor da soma; geometricamente, a transposição não muda o fator de escala de volumes.
Passo 4
E também vale para a inversa:
Justificativa: multiplique
por
; pela propriedade multiplicativa tem-se
, portanto
.
Passo 5
Agora aplicamos essas propriedades ao nosso determinante:
Usando
e
, obtemos
Passo 6
Substituindo os valores numéricos dados
e
:
Passo 7
Um exemplo numérico rápido para sentir que faz sentido: tome
Então
e
. Tem-se
e
, logo
cujo determinante é
, confirmando o resultado anterior.]