Se \operatorname{det}(A)=4 e \operatorname{det}(B)=-2, calcule \operatorname{det}\left(A^{t} B^{-1}\right).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • \det(A)=4.
  • \det(B)=-2.
    O que se pede: calcular \det\!\big(A^{t} B^{-1}\big).
Observações implícitas que aceitamos: A e B são matrizes quadradas (pois têm determinante), e B é invertível (pois \det(B)\neq0 e aparece B^{-1}).

Passo 2

Lembra da propriedade multiplicativa do determinante: para quaisquer matrizes quadradas compatíveis em ordem,
\det(XY)=\det(X)\,\det(Y).
Explicação curta e intuitiva: o determinante mede o fator de escala orientado de volumes quando se aplica a transformação linear representada por uma matriz; aplicar X e depois Y escala o volume por \det(X) e depois por \det(Y), logo pelo produto.

Passo 3

Outra propriedade importante: o determinante da transposta é igual ao determinante da matriz:
\det\big(X^{t}\big)=\det(X).
Explicação simples: a definição do determinante via somas sobre permutações mostra que trocar linhas por colunas (transpor) não altera o valor da soma; geometricamente, a transposição não muda o fator de escala de volumes.

Passo 4

E também vale para a inversa:
\det\big(X^{-1}\big)=\frac{1}{\det(X)}\quad\text{(quando \(X\) é invertível).}éí
Justificativa: multiplique \det(X) por \det(X^{-1}); pela propriedade multiplicativa tem-se \det(X)\det(X^{-1})=\det(XX^{-1})=\det(I)=1, portanto \det(X^{-1})=1/\det(X).

Passo 5

Agora aplicamos essas propriedades ao nosso determinante:
\det\!\big(A^{t}B^{-1}\big)=\det\big(A^{t}\big)\,\det\big(B^{-1}\big).
Usando \det\big(A^{t}\big)=\det(A) e \det\big(B^{-1}\big)=1/\det(B), obtemos
\det\!\big(A^{t}B^{-1}\big)=\det(A)\cdot\frac{1}{\det(B)}.

Passo 6

Substituindo os valores numéricos dados \det(A)=4 e \det(B)=-2:
\det\!\big(A^{t}B^{-1}\big)=4\cdot\frac{1}{-2}=4\cdot\big(-\tfrac{1}{2}\big)=-2.

Passo 7

Um exemplo numérico rápido para sentir que faz sentido: tome
A=\begin{pmatrix}2&0\\[2pt]0&2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]0&-2\end{pmatrix}.
Então \det(A)=4 e \det(B)=-2. Tem-se B^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]0&-{\tfrac{1}{2}}\end{pmatrix} e A^{t}=A, logo
A^{t}B^{-1}=\begin{pmatrix}2&0\\[2pt]0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]0&-{\tfrac{1}{2}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0\\[2pt]0&-1\end{pmatrix},
cujo determinante é 2\cdot(-1)=-2, confirmando o resultado anterior.]

Resposta

-2

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