Verifique se a matriz
é invertível e calcule o determinante de sua inversa.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pede duas coisas:
- verificar se
é invertível; - calcular o determinante de
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Os elementos da matriz são funções trigonométricas de
: e . - Não há valor numérico de
dado: a resposta deve ser geral, em função de .]
Passo 2
Recordando uma fórmula básica (aquela que é muito útil para matrizes
): se
então o determinante é dado por
Aqui
são os elementos da matriz; a ideia é multiplicar os elementos da diagonal principal (
e
) e subtrair o produto dos elementos da outra diagonal (
e
). Vou aplicar isso em
.]
Passo 3
Aplicando a fórmula do determinante a
:
Agora simplifico os produtos:
Passo 4
Usando a identidade trigonométrica fundamental (identidade pitagórica do círculo trigonométrico):
válida para todo
. Portanto:
Como o determinante de
é diferente de zero (
), isso significa que
é invertível. (Regra: uma matriz é invertível se, e somente se, seu determinante for não nulo.)
Passo 5
Uma propriedade importante dos determinantes que vou usar agora: para uma matriz invertível
vale
Essa fórmula vem do fato de que
e da multiplicatividade do determinante:
.
Passo 6
Como já encontramos
, aplicando a propriedade acima obtemos
Para reforçar a intuição, pode-se também calcular explicitamente
usando a fórmula da inversa para matrizes
:
Como
, fica
que é exatamente a transposta de
(isso é coerente porque
é uma matriz de rotação, uma matriz ortogonal com determinante
). O determinante dessa matriz também é
, confirmação direta do que já achamos.]
Resposta
Sim.