Verifique se a matriz A=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\operatorname{sen} \theta \\\ \operatorname{sen} \theta & \cos \theta\end{array}\right] é invertível e calcule o determinante de sua inversa.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\operatorname{sen}\theta \\[4pt] \operatorname{sen}\theta & \cos\theta\end{pmatrix}
e pede duas coisas:
  • verificar se A é invertível;
  • calcular o determinante de A^{-1}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Os elementos da matriz são funções trigonométricas de \theta: \cos\theta e \operatorname{sen}\theta.
  • Não há valor numérico de \theta dado: a resposta deve ser geral, em função de \theta.]

Passo 2

Recordando uma fórmula básica (aquela que é muito útil para matrizes 2\times2): se
M=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
então o determinante é dado por
\det(M)=ad-bc.
Aqui a,b,c,d são os elementos da matriz; a ideia é multiplicar os elementos da diagonal principal ( a e d) e subtrair o produto dos elementos da outra diagonal ( b e c). Vou aplicar isso em A.]

Passo 3

Aplicando a fórmula do determinante a A:
\det(A)=\cos\theta\cdot\cos\theta - \big(-\operatorname{sen}\theta\big)\cdot\operatorname{sen}\theta.
Agora simplifico os produtos:
\det(A)=\cos^{2}\theta + \operatorname{sen}^{2}\theta.

Passo 4

Usando a identidade trigonométrica fundamental (identidade pitagórica do círculo trigonométrico):
\cos^{2}\theta + \operatorname{sen}^{2}\theta = 1,
válida para todo \theta. Portanto:
\det(A)=1.
Como o determinante de A é diferente de zero ( \det(A)=1\neq0), isso significa que A é invertível. (Regra: uma matriz é invertível se, e somente se, seu determinante for não nulo.)

Passo 5

Uma propriedade importante dos determinantes que vou usar agora: para uma matriz invertível A vale
\det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}.
Essa fórmula vem do fato de que \det(AA^{-1})=\det(I)=1 e da multiplicatividade do determinante: \det(A)\det(A^{-1})=1.

Passo 6

Como já encontramos \det(A)=1, aplicando a propriedade acima obtemos
\det(A^{-1})=\frac{1}{1}=1.
Para reforçar a intuição, pode-se também calcular explicitamente A^{-1} usando a fórmula da inversa para matrizes 2\times2:
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}\cos\theta & \operatorname{sen}\theta \\[4pt] -\operatorname{sen}\theta & \cos\theta\end{pmatrix}.
Como \det(A)=1, fica
A^{-1}=\begin{pmatrix}\cos\theta & \operatorname{sen}\theta \\[4pt] -\operatorname{sen}\theta & \cos\theta\end{pmatrix},
que é exatamente a transposta de A (isso é coerente porque A é uma matriz de rotação, uma matriz ortogonal com determinante 1). O determinante dessa matriz também é 1, confirmação direta do que já achamos.]

Resposta

Sim.
\det(A^{-1})=1

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