\operatorname{Se} f(x, y)=x\left(x^{2}+y^{2}\right)^{-3 / 2} e^{\operatorname{sen}\left(x^{2} y\right)}, determine f_{x}(1,0). [Dica: Em vez de determinar f_{x}(x, y) primeiro, observe que é mais fácil utilizar a Equação 1 ou a Equação 2.]

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x\,(x^{2}+y^{2})^{-3/2}\,e^{\sin(x^{2}y)}
e pede o valor da derivada parcial \,f_{x}(1,0).
Informações relevantes: o ponto onde queremos a parcial é (1,0). Não há outras condições escondidas. A dica sugere usar uma equação que facilita o cálculo em um ponto — isto indica que podemos avaliar a parcial mantendo y fixo (ou seja, derivar ao longo da reta y=0).

Passo 2

Vou lembrar a definição operacional de derivada parcial em um ponto: para (a,b),
f_{x}(a,b)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}.
Isto significa que, para calcular \,f_{x}(1,0), podemos considerar a função de uma variável obtida fixando y=0:
g(x)=f(x,0).
Então \,f_{x}(1,0)=g'(1). Essa é a razão por que é mais fácil substituir y=0 primeiro e derivar em uma variável só.

Passo 3

Constrói-se g(x) substituindo y=0 em f:
g(x)=f(x,0)=x\,(x^{2}+0)^{-3/2}\,e^{\sin(x^{2}\cdot 0)}.
Agora simplificamos passo a passo:
x^{2}+0=x^{2},
\sin(x^{2}\cdot 0)=\sin(0)=0\quad\Rightarrow\quad e^{\sin(x^{2}\cdot 0)}=e^{0}=1,
e
(x^{2})^{-3/2}=(|x|^{2})^{-3/2}=|x|^{-3}.
Observe que |x|^{-3}=x^{-3} para x>0. Como estamos interessados em derivar em torno de x=1 (isto é, valores próximos de 1, todos positivos), podemos usar x^{-3} sem problema. Portanto
g(x)=x\cdot x^{-3}\cdot 1 = x^{-2}.

Passo 4

Agora derivamos g(x)=x^{-2} usando a regra da potência: se h(x)=x^{n} então h'(x)=n x^{n-1}. Aplicando com n=-2 obtém-se
g'(x)=-2\,x^{-3}.

Passo 5

Avalia-se em x=1:
g'(1)=-2\cdot 1^{-3}=-2.
Pelo que foi dito no Passo 2, f_{x}(1,0)=g'(1). Assim concluímos que f_{x}(1,0)=-2.

Resposta

-2

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