Se operatorname{sen} x=\frac{1}{3} e \cos y=\frac{4}{5}, onde x e y existem entre 0 e \frac{\pi}{2}, Avalie a expressão.
\cos 2 y

Passo 1

O enunciado nos dá \sin x = \tfrac{1}{3} e \cos y = \tfrac{4}{5} com x,y\in\bigl(0,\tfrac{\pi}{2}\bigr) e pede para calcular \cos 2y. Aqui o valor de \sin x não será usado, pois \cos 2y depende apenas de y. Para resolver, vamos usar (1) a identidade pitagórica para encontrar \sin y e (2) a fórmula do ângulo duplo:
\cos 2y = \cos^2 y - \sin^2 y.

Passo 2

Como \cos y = \tfrac{4}{5} e y está no primeiro quadrante, temos
\sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - \Bigl(\tfrac{4}{5}\Bigr)^2} = \sqrt{1 - \tfrac{16}{25}} = \sqrt{\tfrac{9}{25}} = \tfrac{3}{5}.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula do ângulo duplo:
\cos 2y = \cos^2 y - \sin^2 y = \Bigl(\tfrac{4}{5}\Bigr)^2 - \Bigl(\tfrac{3}{5}\Bigr)^2 = \tfrac{16}{25} - \tfrac{9}{25} = \tfrac{7}{25}.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{25}

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