a) Se z=r e^{i \theta}, prove que z^{i}=e^{-(\theta+2 k \pi)}[\cos (\ln r)+i \operatorname{sen}(\ln r)], onde k=0, \pm l, \pm 2, \ldots.
b) Se z é um ponto sobre o círculo unitário de centro na origem, prove que z^{i} representa um número infinito de números reais e determine o valor principal.
c) Encontre o valor principal de i^{i}.

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar com potências complexas usando a definição \displaystyle z^w = e^{w\Log z}
onde \displaystyle \Log z = \ln r + i(\theta + 2k\pi).
Em (a) queremos obter a fórmula geral de z^i para z=r e^{i\theta}. Em (b) analisar o caso \lvert z\rvert=1 (círculo unitário) e identificar o valor principal. Em (c) calcular o valor principal de i^i.

Passo 2

Usamos a definição da potência complexa:
z^i \;=\; e^{\,i\,\Log z} \quad\text{com}\quad \Log z = \ln r + i(\theta + 2k\pi),\;k\in\mathbb{Z}.
Substituindo,
z^i = e^{\,i(\ln r + i(\theta + 2k\pi))} = e^{\,i\ln r \;-\;(\theta + 2k\pi)}.

Passo 3

Separamos parte real e imaginária no expoente:
z^i = e^{-(\theta + 2k\pi)}\;e^{\,i\ln r} = e^{-(\theta + 2k\pi)}\bigl[\cos(\ln r) + i\sin(\ln r)\bigr].
Isto prova a fórmula
z^i = e^{-(\theta + 2k\pi)}\bigl[\cos(\ln r) + i\,\operatorname{sen}(\ln r)\bigr].

Passo 4

No círculo unitário temos r=1, logo \ln r=0. Assim
z^i = e^{-(\theta + 2k\pi)}\bigl[\cos0 + i\sin0\bigr] = e^{-(\theta + 2k\pi)}\cdot1 = e^{-(\theta + 2k\pi)},
que é sempre um número real. Como k varia em \mathbb{Z}, existem infinitos valores reais distintos. O valor principal corresponde a escolher k=0, ficando
\boxed{z^i_{\text{princ}} = e^{-\theta}}.

Passo 5

Para i^i usamos z=i, logo r=1 e, no ramo principal, \theta=\Arg(i)=\tfrac{\pi}{2}. Assim
i^i_{\text{princ}} = e^{-\bigl(\tfrac{\pi}{2}+2\cdot0\cdot\pi\bigr)} = e^{-\tfrac{\pi}{2}}.

Resposta

a) \displaystyle z^i = e^{-(\theta + 2k\pi)}\bigl[\cos(\ln r) + i\,\operatorname{sen}(\ln r)\bigr],\;k\in\mathbb{Z}.
b) Em \lvert z\rvert=1, \displaystyle z^i = e^{-(\theta + 2k\pi)}\in\mathbb{R} (infinitos valores) e o valor principal é \displaystyle e^{-\theta}.
c) \displaystyle i^i_{\text{princ}} = e^{-\tfrac{\pi}{2}}.

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