a) Se
, prove que
, onde
,
.
b) Se
é um ponto sobre o círculo unitário de centro na origem, prove que
representa um número infinito de números reais e determine o valor principal.
c) Encontre o valor principal de
.
b) Se
c) Encontre o valor principal de
Passo 1
O enunciado pede para trabalhar com potências complexas usando a definição
onde .
Em (a) queremos obter a fórmula geral de para
. Em (b) analisar o caso
(círculo unitário) e identificar o valor principal. Em (c) calcular o valor principal de
.
onde .
Em (a) queremos obter a fórmula geral de
Passo 2
Usamos a definição da potência complexa:
Substituindo,
Passo 3
Separamos parte real e imaginária no expoente:
Isto prova a fórmula
Passo 4
No círculo unitário temos
, logo
. Assim
que é sempre um número real. Como
varia em
, existem infinitos valores reais distintos. O valor principal corresponde a escolher
, ficando
Passo 5
Para
usamos
, logo
e, no ramo principal,
. Assim
Resposta
a)
b) Em ,
(infinitos valores) e o valor principal é
c)
b) Em
c)