\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 10)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o valor da expressão \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 10).
Informações dadas:
  • O número dentro da função é 10.
  • A expressão envolve a função trigonométrica tangente \operatorname{tg} e sua inversa principal \operatorname{arctg}.
  • Não há outras condições ou restrições explícitas no enunciado.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa \operatorname{arctg} 10. Defina
\theta = \operatorname{arctg} 10.
Pela definição de \operatorname{arctg}, isso quer dizer que \theta é o ângulo cujo valor da tangente é 10 e que esse \theta pertence ao intervalo principal de \operatorname{arctg},
\theta \in \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right).
Ou seja, por definição temos a igualdade
\operatorname{tg}\theta = 10.

Passo 3

Agora observe a composição que queremos calcular:
\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 10)=\operatorname{tg}(\theta).
Mas pelo que estabelecemos no Passo 2, \operatorname{tg}\theta=10. Portanto, ao avaliar a tangente do ângulo dado por \operatorname{arctg} 10 recuperamos exatamente o número que entrou na \operatorname{arctg}.

Passo 4

Comentário didático curto: em termos gerais vale a propriedade
\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} x)=x\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R},
porque \operatorname{arctg} foi definido justamente como a função que dá o ângulo na faixa (-{\pi}/{2},{\pi}/{2}) cuja tangente é x. Um exemplo simples para fixar: \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 0{,}5)=0{,}5.

Resposta

\,10\,

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