Resolva os seguintes exercícios, calculando as derivadas parciais de primeira e segunda ordem:
Dada
, calcule:
-
-
Corrigido:
10. Dada
, calcule:
-
-
Reordenado:
10. Dada
, calcule:
-
-
Questão:
10. Dada
, calcule:
-
-
Os itens já estão na ordem correta, então não é necessário reordenar.
Dada
10. Dada
10. Dada
10. Dada
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A expressão usa
, logo no domínio considerado. - Devemos calcular derivadas parciais mantendo a outra variável constante em cada diferenciação.
Nada mais será resolvido aqui — agora vamos aplicar regras de derivação passo a passo.
Passo 2
Introduzimos a função intermediária
. Assim
.
Regra que usaremos (cadeia para função composta): se então
Regra que usaremos (cadeia para função composta): se
Aqui usamos que
. Agora calculemos
e
. Tratando
como constante ao derivar em relação a
:
Tratando
como constante ao derivar em relação a
:
Passo 3
Agora aplicamos a regra da cadeia para obter
:
Simplificamos a fração:
. Substituindo:
Portanto
.
Passo 4
De forma análoga para
:
Portanto
.
Passo 5
Agora as derivadas de segunda ordem. Começamos por
. Temos
Ao derivar em
tratamos
como constante. Usamos a regra da cadeia para
:
Simplificando:
Passo 6
Agora
. Temos
onde
é constante ao derivar em
. Então
Logo
Passo 7
Finalmente
. Partimos de
Derivando em
(agora
é constante) usamos produto e cadeia:
Colocando sobre denominador comum
:
Como checagem rápida, se derivássemos
em relação a
obteríamos a mesma expressão (simetria
válida onde
é
), o que confirma o resultado.