Resolva os seguintes exercícios, calculando as derivadas parciais de primeira e segunda ordem:
Dada r(x, y)=\operatorname{erctan}\left(\frac{y}{x}\right), calcule:
  • r_{x} ; r_{y}
  • r_{x x} ; r_{y y} ; r_{x y}
Corrigido:
10. Dada r(x, y)=\operatorname{erctan}\left(\frac{y}{x}\right), calcule:
  • r_{x} ; r_{y}
  • r_{x x} ; r_{y y} ; r_{x y}
Reordenado:
10. Dada r(x, y)=\operatorname{erctan}\left(\frac{y}{x}\right), calcule:
  • r_{x} ; r_{y}
  • r_{x x} ; r_{y y} ; r_{x y}
Questão:
10. Dada r(x, y)=\operatorname{erctan}\left(\frac{y}{x}\right), calcule:
  • r_{x} ; r_{y}
  • r_{x x} ; r_{y y} ; r_{x y}
Os itens já estão na ordem correta, então não é necessário reordenar.

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle r(x,y)=\operatorname{erctan}\!\left(\frac{y}{x}\right) e pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem:
\displaystyle r_x,\; r_y,\; r_{xx},\; r_{yy},\; r_{xy}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expressão usa \displaystyle \frac{y}{x}, logo \displaystyle x\neq 0 no domínio considerado.
  • Devemos calcular derivadas parciais mantendo a outra variável constante em cada diferenciação.
    Nada mais será resolvido aqui — agora vamos aplicar regras de derivação passo a passo.

Passo 2

Introduzimos a função intermediária \displaystyle u(x,y)=\frac{y}{x}. Assim \displaystyle r(x,y)=\operatorname{erctan}\big(u(x,y)\big).
Regra que usaremos (cadeia para função composta): se \displaystyle r=\operatorname{erctan}(u) então
\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{1}{1+u^2}\cdot\frac{\partial u}{\partial x},\qquad \frac{\partial r}{\partial y}=\frac{1}{1+u^2}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
Aqui usamos que \displaystyle \frac{d}{dt}\operatorname{erctan}(t)=\frac{1}{1+t^2}. Agora calculemos \displaystyle u_x e \displaystyle u_y. Tratando y como constante ao derivar em relação a x:
u(x,y)=\frac{y}{x}=y\cdot x^{-1}\quad\Rightarrow\quad u_x = y\cdot(-1)x^{-2} = -\frac{y}{x^2}.
Tratando x como constante ao derivar em relação a y:
u_y=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y}{x}\right)=\frac{1}{x}.

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia para obter \displaystyle r_x:
r_x=\frac{1}{1+u^2}\,u_x =\frac{1}{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2}\left(-\frac{y}{x^2}\right).
Simplificamos a fração: 1+\left(\frac{y}{x}\right)^2=\frac{x^2+y^2}{x^2}. Substituindo:
r_x = -\frac{y}{x^2}\cdot\frac{x^2}{x^2+y^2} = -\frac{y}{x^2+y^2}.
Portanto \displaystyle r_x=-\frac{y}{x^2+y^2}.

Passo 4

De forma análoga para \displaystyle r_y:
r_y=\frac{1}{1+u^2}\,u_y =\frac{1}{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2}\cdot\frac{1}{x} =\frac{1}{x}\cdot\frac{x^2}{x^2+y^2}=\frac{x}{x^2+y^2}.
Portanto \displaystyle r_y=\frac{x}{x^2+y^2}.

Passo 5

Agora as derivadas de segunda ordem. Começamos por \displaystyle r_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(r_x\right). Temos
r_x = -y\,(x^2+y^2)^{-1}.
Ao derivar em x tratamos y como constante. Usamos a regra da cadeia para (x^2+y^2)^{-1}:
r_{xx} = -y\cdot\frac{d}{dx}\big((x^2+y^2)^{-1}\big) = -y\cdot\big(-1\big)(x^2+y^2)^{-2}\cdot 2x.
Simplificando:
r_{xx} = \frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}.

Passo 6

Agora \displaystyle r_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(r_y\right). Temos
r_y = x\,(x^2+y^2)^{-1},
onde x é constante ao derivar em y. Então
r_{yy} = x\cdot\frac{d}{dy}\big((x^2+y^2)^{-1}\big) = x\cdot\big(-1\big)(x^2+y^2)^{-2}\cdot 2y.
Logo
r_{yy} = -\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}.

Passo 7

Finalmente \displaystyle r_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(r_x\right). Partimos de
r_x = -y\,(x^2+y^2)^{-1}.
Derivando em y (agora x é constante) usamos produto e cadeia:
r_{xy} = -1\cdot (x^2+y^2)^{-1} + (-y)\cdot(-1)(x^2+y^2)^{-2}\cdot 2y.
Colocando sobre denominador comum (x^2+y^2)^2:
r_{xy} = -\frac{x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2} + \frac{2y^2}{(x^2+y^2)^2} = \frac{-x^2-y^2+2y^2}{(x^2+y^2)^2} = \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}.
Como checagem rápida, se derivássemos r_y em relação a x obteríamos a mesma expressão (simetria r_{xy}=r_{yx} válida onde r é C^2), o que confirma o resultado.

Resposta

\displaystyle r_x=-\frac{y}{x^2+y^2}
\displaystyle r_y=\frac{x}{x^2+y^2}
\displaystyle r_{xx}=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}
\displaystyle r_{yy}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}
\displaystyle r_{xy}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}

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