Se \operatorname{tg} x=-\frac{7}{24}, calcule \operatorname{sen} \frac{x}{2}, \cos \frac{x}{2} e \operatorname{tg} \frac{x}{2}.

Passo 1

O enunciado diz que \tan x=-\tfrac{7}{24} e pede \sin\frac{x}{2}, \cos\frac{x}{2} e \tan\frac{x}{2}. Vamos usar as fórmulas de meio-ângulo e primeiro determinar \sin x e \cos x a partir de \tan x.

Passo 2

Como \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=-\tfrac{7}{24}, podemos pensar num triângulo hipotético com catetos 7 e 24 e hipotenusa 25. O sinal de \tan x é negativo. Se tomarmos x no intervalo (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}), então \cos x>0 e \sin x tem sinal de \tan x, ou seja, é negativo. Logo:
\sin x=-\frac{7}{25}, \qquad \cos x=+\frac{24}{25}.

Passo 3

A fórmula de meio-ângulo para o seno é
\sin\frac{x}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}.
Substituindo \cos x=\tfrac{24}{25} obtém-se
\sqrt{\frac{1-\frac{24}{25}}{2}} =\sqrt{\frac{\frac{1}{25}}{2}} =\sqrt{\frac{1}{50}} =\frac{\sqrt{2}}{10}.
Como \tfrac{x}{2}\in(-\tfrac{\pi}{4},0), temos \sin\frac{x}{2}<0. Portanto
\sin\frac{x}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{10}.

Passo 4

A fórmula de meio-ângulo para o cosseno é
\cos\frac{x}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}.
Substituindo \cos x=\tfrac{24}{25}
\sqrt{\frac{1+\frac{24}{25}}{2}} =\sqrt{\frac{\frac{49}{25}}{2}} =\sqrt{\frac{49}{50}} =\frac{7\sqrt{2}}{10}.
Como \tfrac{x}{2}\in(-\tfrac{\pi}{4},0), temos \cos\frac{x}{2}>0. Logo
\cos\frac{x}{2}=\frac{7\sqrt{2}}{10}.

Passo 5

Podemos agora usar
\tan\frac{x}{2}=\frac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}} =\frac{-\frac{\sqrt{2}}{10}}{\frac{7\sqrt{2}}{10}} =-\frac{1}{7}.

Resposta

\displaystyle \sin\frac{x}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{10},\quad \cos\frac{x}{2}=\frac{7\sqrt{2}}{10},\quad \tan\frac{x}{2}=-\frac{1}{7}.

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