Calcule \operatorname{sen} \frac{x}{2} e \cos \frac{x}{2} em função de \cos x.

Passo 1

O enunciado pede para escrever \sin\frac{x}{2} e \cos\frac{x}{2} em função de \cos x. O conteúdo usado é a identidade de ângulo duplo em trigonometria, que relaciona \cos x com \sin^2\frac{x}{2} e \cos^2\frac{x}{2}.

Passo 2

Usamos a identidade
\cos x = 1 - 2\sin^2\frac{x}{2} \quad\text{e}\quad \cos x = 2\cos^2\frac{x}{2} - 1.
Isolando cada quadrado:
\sin^2\frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2}, \qquad \cos^2\frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}.

Passo 3

Para obter \sin\frac{x}{2} e \cos\frac{x}{2} basta extrair a raiz quadrada, lembrando que o sinal pode ser positivo ou negativo conforme o quadrante de \tfrac{x}{2}:
\sin\frac{x}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}}, \qquad \cos\frac{x}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}}.

Resposta

\displaystyle \sin\frac{x}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}},\quad \cos\frac{x}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}}.

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