Prove que em todo triângulo não retângulo A B C,
\operatorname{tg} \widehat{A}+\operatorname{tg} \widehat{B}+\operatorname{tg} \widehat{C}=\operatorname{tg} \widehat{A} \cdot \operatorname{tg} \widehat{B} \cdot \operatorname{tg} \widehat{C}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num triângulo ABC sem ângulo reto,
\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \,\tan B\,\tan C.
Como nenhum dos ângulos é reto, \tan A, \tan B e \tan C estão bem definidas, e sabemos que
A + B + C = \pi.
Vamos usar a fórmula da tangente da soma de ângulos.

Passo 2

A fórmula para \tan(A+B) é
\tan(A+B) \;=\;\frac{\tan A + \tan B}{1 \;-\;\tan A\,\tan B}.

Passo 3

Agora calculamos \tan(A+B+C) em dois passos: primeiro \tan(A+B), depois somamos C.
Pela fórmula acima,
\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A\,\tan B}.
Em seguida,
\tan\bigl((A+B)+C\bigr) =\frac{\tan(A+B)+\tan C}{1 - \tan(A+B)\,\tan C} =\frac{\displaystyle\frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A\,\tan B} + \tan C} {\displaystyle 1 - \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A\,\tan B}\,\tan C}.
Colocando tudo sobre o mesmo denominador (1 - \tan A\,\tan B) no numerador e no denominador, obtém–se
\tan(A+B+C) =\frac{\tan A + \tan B + \tan C - \tan A\,\tan B\,\tan C} {1 - \bigl(\tan A\,\tan B + \tan B\,\tan C + \tan C\,\tan A\bigr)}.

Passo 4

Como A+B+C=\pi, temos \tan(A+B+C)=\tan\pi=0. Então, no quociente acima, o numerador deve ser zero:
\tan A + \tan B + \tan C - \tan A\,\tan B\,\tan C = 0.
Rearranjando, chega-se à identidade desejada:
\tan A + \tan B + \tan C = \tan A\,\tan B\,\tan C.

Resposta

\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \,\tan B\,\tan C.

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