Seja X_{1}, \ldots, X_{n} uma amostra aleatória proveniente de uma população com função densidade de probabilidade
f(x)=3 \theta x^{2} e^{-\theta x^{3}}, \quad x>0
Determine o estimador de máxima verossimilhança para \theta.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra aleatória X_{1},\ldots,X_{n} de uma população cuja função densidade é
f(x)=3 \theta x^{2} e^{-\theta x^{3}},\quad x>0.
O que se pede: encontrar o estimador de máxima verossimilhança (MLE) para \theta.
Informações relevantes que temos do enunciado:
\text{amostra: } X_{1},\ldots,X_{n}\quad\text{independentes e identicamente distribuídos},í
\text{densidade individual: } f(x)=3\theta x^{2}e^{-\theta x^{3}}\\ (x>0).

Passo 2

O método de máxima verossimilhança consiste em escrever a verossimilhança L(\theta), que é a densidade conjunta dos dados vista como função de \theta, e encontrar o \theta que maximiza L(\theta). Como as observações são i.i.d., a verossimilhança é o produto das densidades individuais:
L(\theta)=\prod_{i=1}^{n} f(X_i)=\prod_{i=1}^{n} \bigl(3\theta X_i^{2} e^{-\theta X_i^{3}}\bigr).
Agora simplificamos o produto: fatores que não dependem de i podem ser isolados e potências agrupadas:
L(\theta)=3^{n}\,\theta^{n}\,\Bigl(\prod_{i=1}^{n} X_i^{2}\Bigr)\,e^{-\theta\sum_{i=1}^{n} X_i^{3}}.
Para facilitar a maximização, trabalhamos com a log-verossimilhança \ell(\theta)=\ln L(\theta). Isso transforma produtos em somas e o exponencial em termo linear:
\ell(\theta)=\ln L(\theta)=n\ln 3 + n\ln\theta + 2\sum_{i=1}^{n}\ln X_i - \theta\sum_{i=1}^{n} X_i^{3}.
Observação didática: passamos para a log-verossimilhança porque maximizar \ell(\theta) é equivalente a maximizar L(\theta), e derivadas ficam muito mais fáceis (produto vira soma, potência vira multiplicação por expoente, expoente vira termo linear).

Passo 3

Agora derivamos \ell(\theta) em relação a \theta e igualamos a zero para encontrar o ponto crítico (candidato a máximo):
\frac{d\ell}{d\theta}=\frac{n}{\theta}-\sum_{i=1}^{n} X_i^{3}.
Igualando a zero:
\frac{n}{\theta}-\sum_{i=1}^{n} X_i^{3}=0 \quad\Longrightarrow\quad \hat{\theta}_{\text{MLE}}=\frac{n}{\sum_{i=1}^{n} X_i^{3}}.
Explicação da conta: a derivada de \ln\theta é 1/\theta; o termo -\theta\sum X_i^3 deriva para -\sum X_i^3. Isolando \theta obtemos a expressão acima.

Passo 4

Precisamos verificar que esse ponto crítico é, de fato, um máximo. Calculamos a segunda derivada:
\frac{d^{2}\ell}{d\theta^{2}}=-\frac{n}{\theta^{2}}.
Como \theta^{2}>0 e n>0, temos \dfrac{d^{2}\ell}{d\theta^{2}}<0 para todo \theta>0. Portanto \ell(\theta) é concava em \theta e o ponto crítico encontrado é um máximo global da log-verossimilhança. Concluímos que a \hat{\theta} acima é realmente o MLE.

Passo 5

Algumas observações didáticas úteis para prova (não obrigatórias, mas boas para entender o estimador):
  • Estatística suficiente: note que a verossimilhança depende dos dados somente por meio de \sum_{i=1}^{n} X_i^{3}. Pelo Teorema da fatoração, T=\sum_{i=1}^{n} X_i^{3} é estatística suficiente para \theta.
  • Transformação útil: se definirmos Y_i=X_i^{3}, podemos obter a distribuição de Y_i. Fazendo a transformação, obtemos
f_{Y}(y)=\theta e^{-\theta y},\quad y>0,
ou seja, Y_i segue uma exponencial com parâmetro (taxa) \theta. Então S=\sum_{i=1}^{n} Y_i=\sum_{i=1}^{n} X_i^{3} tem distribuição \text{Gamma}(n,\text{rate}=\theta).
  • Viés e consistência: usando propriedades da Gamma, para n>1 vale
\mathbb{E}\!\left(\frac{1}{S}\right)=\frac{\theta}{\,n-1\,},
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\mathbb{E}(\hat{\theta}_{\text{MLE}})=\mathbb{E}\!\left(\frac{n}{S}\right)=\frac{n\,\theta}{\,n-1\,},
ou seja, \hat{\theta}_{\text{MLE}} é viesado (tende a sobreestimar \theta), mas é consistente: pela Lei dos Grandes Números S/n\to \mathbb{E}(Y_1)=1/\theta em probabilidade, o que implica \hat{\theta}_{\text{MLE}}=n/S\to \theta.
  • Se for desejável um estimador não viesado, pode-se usar \tilde{\theta}=\dfrac{n-1}{S}=\dfrac{n-1}{\sum_{i=1}^{n} X_i^{3}}, pois \mathbb{E}(\tilde{\theta})=\theta para n>1.

Resposta

\hat{\theta}_{\mathrm{MLE}}=\dfrac{n}{\sum_{i=1}^{n} X_i^{3}}

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