Seja
uma amostra aleatória proveniente de uma população com função densidade de probabilidade
Determine o estimador de máxima verossimilhança para
.
Passo 1
O enunciado dá uma amostra aleatória
de uma população cuja função densidade é
O que se pede: encontrar o estimador de máxima verossimilhança (MLE) para
.
Informações relevantes que temos do enunciado:
Informações relevantes que temos do enunciado:
Passo 2
O método de máxima verossimilhança consiste em escrever a verossimilhança
, que é a densidade conjunta dos dados vista como função de
, e encontrar o
que maximiza
. Como as observações são i.i.d., a verossimilhança é o produto das densidades individuais:
Agora simplificamos o produto: fatores que não dependem de
podem ser isolados e potências agrupadas:
Para facilitar a maximização, trabalhamos com a log-verossimilhança
. Isso transforma produtos em somas e o exponencial em termo linear:
Observação didática: passamos para a log-verossimilhança porque maximizar
é equivalente a maximizar
, e derivadas ficam muito mais fáceis (produto vira soma, potência vira multiplicação por expoente, expoente vira termo linear).
Passo 3
Agora derivamos
em relação a
e igualamos a zero para encontrar o ponto crítico (candidato a máximo):
Igualando a zero:
Explicação da conta: a derivada de
é
; o termo
deriva para
. Isolando
obtemos a expressão acima.
Passo 4
Precisamos verificar que esse ponto crítico é, de fato, um máximo. Calculamos a segunda derivada:
Como
e
, temos
para todo
. Portanto
é concava em
e o ponto crítico encontrado é um máximo global da log-verossimilhança. Concluímos que a
acima é realmente o MLE.
Passo 5
Algumas observações didáticas úteis para prova (não obrigatórias, mas boas para entender o estimador):
- Estatística suficiente: note que a verossimilhança depende dos dados somente por meio de
. Pelo Teorema da fatoração, é estatística suficiente para . - Transformação útil: se definirmos
, podemos obter a distribuição de . Fazendo a transformação, obtemos
ou seja,
segue uma exponencial com parâmetro (taxa)
. Então
tem distribuição
.
- Viés e consistência: usando propriedades da Gamma, para
vale
logo
ou seja,
é viesado (tende a sobreestimar
), mas é consistente: pela Lei dos Grandes Números
em probabilidade, o que implica
.
- Se for desejável um estimador não viesado, pode-se usar
, pois para .