[Oppenheim et al., 1996, ex. 5.19] Considere um SLIT causal e estável S cuja entrada x[n ] está relacionada a sua saída y[n] através da seguinte equação diferenças de segunda ordem
y[n]-16 y[n-1]-16 y[n-2]=x[n]
Determine a resposta em frequência H(e^j omega) do sistema S.

Passo 1

O sistema é SLIT causal e estável definido pela equação de diferenças de segunda ordem
y[n] - tfrac16y[n-1] - tfrac16y[n-2] = x[n]
O conteúdo é Transformada Discreta de Fourier (DTFT) ou Transformada Z; vamos usar a DTFT para encontrar H(e^{j\omega}).

Passo 2

Aplicar a DTFT em ambos os lados e usar a propriedade de adiamento Fy[n-k]=e^-jomega kY(e^jomega). Assim temos
Y(e^jomega) - tfrac16e^-jomegaY(e^jomega) - tfrac16e^-j2omegaY(e^jomega) = X(e^jomega)

Passo 3

Fatorar Y(e^jomega) no lado esquerdo:
Y(e^jomega)l(1 - tfrac16e^-jomega - tfrac16e^-j2omegar) = X(e^jomega)

Passo 4

Isolar a resposta em frequência como a razão Y(e^jomega)/X(e^jomega):
H(e^jomega) = Y(e^jomega)X(e^jomega) = 11 - tfrac16e^-jomega - tfrac16e^-j2omega

Resposta

H(e^jomega) = 11 - tfrac16e^-jomega - tfrac16e^-j2omega

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