[Oppenheim et al., 1996, ex. 4.6] Dado que x(t) possui transformada de Fourier X(j omega), expresse as transformadas de Fourier dos sinais abaixo em função de X(j omega). Utilize as propriedades da transformada de Fourier.
x3(t)=d^2d t^2 x(t-1)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a transformada de Fourier de x3(t)=d^2dt^2x(t-1), sabendo que x(t) tem transformada X(jomega). Vamos usar as propriedades de deslocamento no tempo e diferenciação em Fourier.

Passo 2

A propriedade de deslocamento no tempo diz que, se x(t) tem transformada X(jomega), então
Fx(t-1) = e^-jomegacdot 1X(jomega)

Passo 3

A propriedade de diferenciação no tempo diz que, ao derivar n vezes no tempo, a transformada é multiplicada por (jomega)^n. Para n=2:
Fld^2dt^2x(t)r = (jomega)^2X(jomega)

Passo 4

Como derivação e deslocamento comutam, aplicamos primeiro o deslocamento e depois a diferença de segunda ordem. Logo, a transformada de x3(t) é o produto das duas propriedades:
X3(jomega) = (jomega)^2,e^-jomega,X(jomega)

Resposta

X3(jomega) = (jomega)^2e^-jomegaX(jomega).

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