[Oppenheim et al., 1996, ex. 5.19] Considere um SLIT causal e estável
cuja entrada
] está relacionada a sua saída
através da seguinte equação diferenças de segunda ordem
Determine a resposta ao impulso
do sistema
.
Passo 1
O exercício dá a equação diferença de um sistema causal, estável e LTI de segunda ordem e pede a resposta ao impulso
. Vamos usar teoria de equações lineares de diferenças: escrevemos a parte homogênea, encontramos as raízes características, montamos a solução geral e usamos as condições iniciais impostas pela entrada impulso
.
Passo 2
Escrevemos a parte homogênea associada à equação diferença:
A equação característica é
Passo 3
Resolvendo a equação característica:
O discriminante é
portanto as raízes são
Passo 4
A solução geral da parte homogênea (que, para
, representa
já que a parte particular gera apenas os valores iniciais do impulso) é
para
e
para
.
Passo 5
Agora usamos as condições iniciais impostas pela entrada
e pela causalidade (
para
).
Para
:
como
, segue
. Logo
Para
:
pois
. Então
. Mas
Passo 6
Resolvendo o sistema
multiplicando a segunda equação por 6 dá
Resolvendo:
Passo 7
Substituindo
e
na solução geral, obtemos a resposta ao impulso: