[Oppenheim et al., 1996, ex. 5.19] Considere um SLIT causal e estável S cuja entrada x[n ] está relacionada a sua saída y[n] através da seguinte equação diferenças de segunda ordem
y[n]-16 y[n-1]-16 y[n-2]=x[n]
Determine a resposta ao impulso h[n] do sistema S.

Passo 1

O exercício dá a equação diferença de um sistema causal, estável e LTI de segunda ordem e pede a resposta ao impulso h[n]. Vamos usar teoria de equações lineares de diferenças: escrevemos a parte homogênea, encontramos as raízes características, montamos a solução geral e usamos as condições iniciais impostas pela entrada impulso x[n]=de.

Passo 2

Escrevemos a parte homogênea associada à equação diferença:
y[n] - 16y[n-1] - 16y[n-2] = 0
A equação característica é
r^2 - 16r - 16 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação característica:
O discriminante é
De
portanto as raízes são
r = tfrac16 pm tfrac562 = r1 = tfrac12, r2 = -tfrac13

Passo 4

A solução geral da parte homogênea (que, para n>=0, representa h[n] já que a parte particular gera apenas os valores iniciais do impulso) é
h[n] = Al(tfrac12r)^n + Bl(-tfrac13r)^n,
para n>=0 e h[n]=0 para n<0.

Passo 5

Agora usamos as condições iniciais impostas pela entrada x[n]=de e pela causalidade ( h[n]=0 para n<0).
Para n=0:
h[0] - tfrac16h[-1] - tfrac16h[-2] = 1
como h[-1]=h[-2]=0, segue h[0]=1. Logo
A + B = 1
Para n=1:
h[1] - tfrac16h[0] = 0
pois de. Então h[1]=tfrac16. Mas
h[1] = Acdottfrac12 + Bcdotl(-tfrac13r) = tfrac16

Passo 6

Resolvendo o sistema
A + B = 1, tfrac12 A - tfrac13 B = tfrac16,
multiplicando a segunda equação por 6 dá
3A - 2B = 1
Resolvendo:
A = tfrac35, B = tfrac25

Passo 7

Substituindo A e B na solução geral, obtemos a resposta ao impulso:
h[n] = l(tfrac35l(tfrac12r)^n + tfrac25l(-tfrac13r)^nr)u[n]

Resposta

h[n] = l(tfrac35l(tfrac12r)^n + tfrac25l(-tfrac13r)^nr)u[n]

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