[Oppenheim et al., 1996, ex. 4.3] Determine a transformada de Fourier dos seguintes sinais periódicos:
sin (2 pi t+pi4)

Passo 1

O enunciado pede para achar a transformada de Fourier de um sinal periódico x(t)=sinl(2pi t+tfracpi4r). O conteúdo é transformada de Fourier de sinais periódicos, e vamos usar a relação entre séries de Fourier e a transformada contínua.

Passo 2

Primeiro, represente o seno como soma de exponenciais complexas, usando a identidade sin(θ)=tfrac12j(e^jθ-e^-jθ). Aqui temos
x(t)=sinl(2pi t+tfracpi4r)=12jl(e^j(2pi t+pi/4)-e^-j(2pi t+pi/4)r)

Passo 3

Depois, lembramos que a transformada de Fourier de um complexo exponencial deslocado é dada por
Fe^jomega0 t=2pi,de

Passo 4

Aplicando linearidade, obtemos:
Fe^j(2pi t+pi/4)=2pi,e^jpi/4,de
Fe^-j(2pi t+pi/4)=2pi,e^-jpi/4,de

Passo 5

Finalmente, juntando os dois termos com o fator 1/(2j):
X(omega)=12jl[2pi,e^jpi/4,de

Resposta

X(omega)=2pi2j,e^jpi/4,de

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