[Oppenheim et al., 1996, ex. 4.3] Determine a transformada de Fourier dos seguintes sinais periódicos:
1+cos (6 pi t+pi8)

Passo 1

A gente precisa achar a transformada de Fourier de um sinal periódico x(t)=1+cos 6pi t+pi8. O tema é “transformada de Fourier de sinais periódicos” e vamos usar a relação com a série de Fourier do sinal.

Passo 2

Para aplicar a série de Fourier, achamos o período e a frequência angular fundamental. O termo cos 6pi t+pi8 tem frequência angular omega1=6pi, logo o período é T0=2piomega1=2pi6pi=tfrac13 segundo e a frequência angular fundamental é omega0=6pi.

Passo 3

Agora tiramos os coeficientes ck da série de Fourier x(t)=sumk=-infty^inftyck e^jkomega0 t. Para o termo constante 1, o coeficiente de DC é c0=1. Para o cosseno usamos a identidade cos(omega0 t+phi)=tfrac12e^jphie^jomega0t+tfrac12e^-jphie^-jomega0t, então
c1=12e^jpi8, c-1=12e^-jpi8,
e todos os outros ck=0.

Passo 4

A transformada de Fourier de um sinal periódico em série de Fourier é
X(omega)=2pisumk=-infty^inftyck,de

Passo 5

Substituindo os coeficientes não nulos e omega0=6pi, obtemos
X(omega)=2pi,c0,de

Resposta

Substituindo c0=1, c1=tfrac12e^jpi8 e c-1=tfrac12e^-jpi8, fica
X(omega)=2pi,de

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