[Oppenheim et al., 1996, ex. 5.2] Calcule a transformada de Fourier de:
de

Passo 1

Na questão temos um sinal discreto dado por x[n]=de e queremos encontrar sua transformada de Fourier discreta (DTFT). Vamos usar o conceito de DTFT e a propriedade de deslocamento no tempo.

Passo 2

A definição da DTFT de um sinal x[n] é
X(e^jOmega) = sumn=-infty^infty x[n] e^-jOmega n

Passo 3

Como o sinal só é não nulo em n=1 e n=-1, a soma da DTFT reduz-se a:
X(e^jOmega) = x[1] e^-jOmega cdot 1 + x[-1] e^-jOmega cdot (-1), onde x[1]=1 e x[-1]=1.

Passo 4

Substituindo esses valores, obtemos:
X(e^jOmega) = e^-jOmega + e^jOmega Reconhecendo que e^-jOmega+e^jOmega=2cos(Omega), chegamos ao resultado desejado.

Resposta

X(e^jOmega) = e^-jOmega + e^jOmega = 2cos(Omega)

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