[Oppenheim et al., 1996, ex. 9.4] Para a transformada de Laplace de
indique qual a localização dos pólos e a região de convergência.
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace do sinal anticausal definido por
ou seja, é um caso de Laplace para sinais com suporte em
. Para resolver vamos usar a definição de transformada e a relação com o caso usual em
.
Passo 2
Escrevemos a definição de Laplace para um sinal que só existe em
:
Aqui a ideia é levar essa integral para uma forma que conhecemos.
Passo 3
Para transformar em uma integral do tipo
, fazemos a mudança de variável
com
variando de 0 até
. Substituindo,
Passo 4
Reconhecemos agora a integral como a transformada de Laplace padrão de
, que vale
Aqui
e
, logo
Passo 5
Para achar os polos, igualamos o denominador a zero:
Como o sinal é anticausal (suporte em
), a região de convergência fica à esquerda do polo de maior parte real, ou seja,
Resposta
Os polos são em
e a região de convergência é
.