[Oppenheim et al., 1996, ex. 9.4] Para a transformada de Laplace de
x(t)= e^t sin (2 t), & t <= 0 0 & t>0
indique qual a localização dos pólos e a região de convergência.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace do sinal anticausal definido por
x(t)=e^tsin(2t),&t<=00,&t>0
ou seja, é um caso de Laplace para sinais com suporte em ( -infty,0]. Para resolver vamos usar a definição de transformada e a relação com o caso usual em [0,infty).

Passo 2

Escrevemos a definição de Laplace para um sinal que só existe em ( -infty,0]:
X(s)=integral-infty^0e^tsin(2t),e^-st,dt=integral-infty^0e^(1-s)tsin(2t),dt
Aqui a ideia é levar essa integral para uma forma que conhecemos.

Passo 3

Para transformar em uma integral do tipo [0,infty), fazemos a mudança de variável
t=-uLongrightarrow u=-t, dt=-du,
com u variando de 0 até infty. Substituindo,
X(s)=integralu=0^inftye^-(1-s)usin(2u),du

Passo 4

Reconhecemos agora a integral como a transformada de Laplace padrão de sin(2u), que vale
integral0^inftye^-p usin(omega u),du=omegap^2+omega^2
Aqui p=1-s e omega=2, logo
X(s)=2(1-s)^2+4=2(s-1)^2+4

Passo 5

Para achar os polos, igualamos o denominador a zero:
(s-1)^2+4=0Longrightarrow s-1=pm2jLongrightarrow s=1pm2j
Como o sinal é anticausal (suporte em ( -infty,0]), a região de convergência fica à esquerda do polo de maior parte real, ou seja,
Re(s)<1

Resposta

Os polos são em s=1pm2j e a região de convergência é Re(s)<1.

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